【题解】NOI Online 2022 数学游戏题解

题目(luogu)

题目描述

Kri 喜欢玩数字游戏。
一天，他在草稿纸上写下了$t$对正整数$(x,y)$，并对于每一对正整数计算出了$z=x\ast y\ast gcd(x,y)$。
可是调皮的Zay找到了Kri的草稿纸，并把每一组的$y$都擦除了，还可能改动了一些$z$。
现在Kri想请你帮忙还原每一组的$y$，具体地，对于每一组中的$x$和$z$，你需要输出最小的正整数$y$，使得$z=x\ast y\ast gcd(x,y)$。如果这样的$y$不存在，也就是Zay一定改动了$z$，那么请输出$-1$。
注：$gcd(x,y)$表示$x$和$y$的最大公约数，也就是最大的正整数$d$，满足$d$既是$x$的约数，又是$y$的约数。

输入格式

第一行一个整数，表示有$t$对正整数$x$和$y$。
接下来$t$行，每行两个正整数$x$和$y$，含义见题目描述。

输出格式

对于每对数字输出一行，如果不存在满足条件的正整数$y$，请输出$-1$，否则输出满足条件的最小正整数$y$.

样例

样例输入

3
5 30
4 8
11 11

样例输出

6
-1
1

数据范围

对于$20\%$的数据，$t,x,z\le 10^3$。
对于$40\%$的数据，$t\le 10^3,x\le 10^6,z\le 10^9$。
对于另$30\%$的数据，$t\le 10^4$。
对于另$20\%$的数据，$x\le 10^6$。
对于$100\%$的数据，$1\le t\le 5\ast 10^5,1\le z\le 2^{63}$。

分析

首先可以简单地推出$y\ast gcd(x,y)=\frac{z}{x}$，而$z$和$x$是已知变量，所以可以通过枚举$y$或$gcd(x,y)$来判断，肯定是枚举$gcd(x,y)$更快，由于$gcd(x,y)$一定是$x$的因数，于是我们可以枚举$x$的因数来枚举$gcd(x,y)$，然后根据推出的式子进一步下推来推出判断式。
$$\begin{gathered} y\ast gcd(x,y)=\frac{z}{x} \\ y=\frac{z}{x\ast gcd(x,y)} \\ gcd(x,\frac{z}{x\ast gcd(x,y)})=j(j即枚举的x因数) \end{gathered}$$
这个算法大概是$O(t\sqrt{x})$的时间复杂度，显然不能过，大概能水到40分。
以上是我考试时的思路。
正解如下：

设$d=gcd(x,y)$，$x=p\ast d$，$y=p\ast d$，则有
$$\begin{gathered} z=x\ast y\ast d \\ z=p\ast q\ast d^3 \\ \frac{z}{x}=\frac{p\ast q\ast d^3}{p\ast d}=q\ast d^2 \\ 已知x=p\ast d,z=p\ast q\ast d^3,求y \\ y=pd=(p\ast q\ast d^3)/(p\ast d)/d \\ 即y=\frac{z}{x}\ast \frac{1}{d} \\ 只需求出d即可 \\ 因为d=gcd(x,y),所以p与q互质,所以p^2与q互质 \\ {d}^2=gcd(p^2\ast d^2,q\ast d^2)=gcd(x^2,\frac{z}{x}) \\ d=\sqrt{gcd(x^2,\frac{z}{x})} \end{gathered}$$

你以为已经完了吗？

不！

不然它给你-1干嘛
所以，我们还需要判断是否合法。
分析一下，以上方法是否有漏洞。
很明显，真相只有一——
啊不，两个。
首先，$\sqrt{gcd(x^2,\frac{z}{x})}$的这个根号

很不行！

根号下的数不一定能开出整数，于是就会出现这样的情况：

我们算出的$d^{\prime }=\sqrt{gcd(x^2,\frac{z}{x})}=\lfloor \sqrt{gcd(x^2,\frac{z}{x})}\rfloor$
而真正的$d=\sqrt{gcd(x^2,\frac{z}{x})}$
所以$d^{\prime }\ne d$

所以只有当算出来的$d^{\prime }$等于真正的$d$时，才有答案。
而当真正的$d$等于$d^{\prime }$的时候，$d=gcd(x,y)=gcd(x,z/x/d^{\prime })$
所以判断条件就应该是$\lfloor d^{\prime }\rfloor$是否等于$d^{\prime }$

其次
谁说$z$一定整除$x$了？
第二个条件就显而易见了：
当$z\%x==0$时，输出$-1$.

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL t,x,z;
LL gcd(LL aa,LL bb) {
    if(!bb) return aa;
    return gcd(bb,aa%bb);
}
int main() {
    scanf("%lld",&t);
    for(int i=1;i<=t;i++) {
        scanf("%lld%lld",&x,&z);
        if(z%x!=0) {
            printf("-1\n");
            continue;
        }
        double d=sqrt(gcd(x*x,z/x)*1.0);
        if(floor(d)==d) printf("%lld\n",z/x/(long long)d);
        else printf("-1\n");
    }
    return 0;
}

官方数据竟然比民间数据还水？？？