哈密顿正则方程和哈密顿-雅克比方程

勒让德变换和正则方程

设有$f(x,y)$，则全微分$df(x,y)=udx+vdy$，其中$u=\partial f(x,y)/\partial x,v=\partial f(x,y)/\partial y$。这里的变量是$x,y$。注意$u$是$x,y$的函数，即$u=u(x,y)$，从这个式子出发，也可以把函数关系表示为$x=x(u,y)$。现在希望把变量换成$u$和$y$，也就是说把函数$f(x,y)$看做复合函数$f(u,y)=f[x(u,y),y]$，构造函数$g(u,y)=f(u,y)-ux(u,y)$，则$dg(u,y)=df-xdu-udx=vdy-xdu$，上式就成功地把变量换成了$u$和$y$，有$\partial g(u,y)/\partial y=v,\partial g(u,y)/\partial u=-x$。这就是勒让德变换，通过修改被全微分的函数，来把全微分式中$udx$换成$xdu$。

位形空间中的拉格朗日函数$L(q,\dot{q},t)$以$q$和$\dot{q}$为自由变量，现在想把$\dot{q}$换成对应的动量$p=\partial L/\partial \dot{q}$，让自由变量变成$q$和$p$。先求其全微分

$$dL(q,\dot{q},t)=\sum_k\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}dq_k+\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_k}d\dot{q}_k\right)+\frac{\partial L}{\partial t}dt$$ 按照广义动量的定义 $$p_k=\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}$$ 和拉格朗日方程 $$\dot{p_k}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}=\frac{\partial L}{\partial q_k}$$ 代入拉格朗日函数的全微分式中，得到 $$dL(q,\dot{q},t)=\sum_k\left(\dot{p}_kdq_k+p_kd\dot{q}_k\right)+\frac{\partial L}{\partial t}dt$$ 上式中扮演自变量身份的还是 $q_k,\dot{q}_k,t$三者，现在希望把上式中的 $p_kd\dot{q}_k$换成 $\dot{q}_kdp_k$，从而把自变量换成 $q_k,p_k,t$三者。为此使用勒让德变换，构造新函数 $$H(p,q,t)=\sum_kp_k\dot{q}_k-L(q,\dot{q},t)$$ 求上式全微分得到 $$dH(p,q,t)=\sum_k(\dot{q}_kdp_k-\dot{p}_kdq_k)-\frac{\partial L}{\partial t}dt$$ 这就是说

∂H∂pk∂H∂qk(∂H∂t)p