密度算符

混合态

$\def\vec#1{\boldsymbol{#1}}$ $\def\bra#1{\langle#1|}$ $\def\ket#1{|#1\rangle}$ $\def\dirac#1#2{\langle#1|#2\rangle}$
如果系统并非处于一个态中，而是以概率$p_1$处于$\ket{\psi_1}$，以概率$p_2$处于态$\ket{\psi_2}$中，这种状态无法用一个态矢量来描述，称之为混合态（原来的态称之为纯态）。一般情况下，设量子系统以概率$p_i$处于状态$\ket{\psi_i}$，且$\sum_ip_i=1$，则称$\{p_i,\ket{\psi_i}\}$是一个纯态的系综。

混合态系统以概率$p_1$处于$\ket{\psi_1}$，以概率$p_2$处于态$\ket{\psi_2}$，相比纯态系统$\ket{\psi}=c_1\ket{\psi_1}+c_2\ket{\psi_2}$有本质不同：混合态系统并非相干叠加。对于纯态，设可观测量$A$，则观测$A$取值$a_i$的概率为

$$|\dirac{a_i}{\psi}|^2=|c_1\dirac{a_i}{\psi_1}+c_2\dirac{a_i}{\psi_2}|^2$$ 而对于混合态，这个概率为 $$p_1|\dirac{a_i}{\psi_1}|^2+p_2|\dirac{a_i}{\psi_2}|^2$$

密度算符

为了简便描述混合态，引入描述系统的密度算符$\rho$. 对于系综$\{p_i,\ket{\psi_i}\}$，密度算符$\rho$定义为

$$\rho=\sum_i p_i\ket{\psi_i}\bra{\psi_i}$$ 其中$\sum_i p_i=1$，且$\ket{\psi_i}$是归一化的，但并不要求相互正交。

为对处于混合态的系统求某个可观测量的期望，首先对其中各个纯态求期望，再按照$p_i$加权平均：

$$\langle A\rangle=\sum_i p_i\dirac{\psi_i|A}{\psi_i}$$ 假设一组标准正交基$\ket{n}$，满足$\sum_n \ket{n}\bra{n}=1$，则插入上式得到 $$\langle A\rangle=\sum_{n,i}p_i\dirac{\psi_i}{n}\dirac{n|A}{\psi_i}=\sum_n\bra{n}A\left(\sum_i\ket{\psi_i}p_i\bra{\psi_i}\right)\ket{n}=\sum_n\bra{n}A\rho\ket{n}=tr(A\rho)$$ 而得到观测值$a_j$的概率等于 $$W_j=\sum_i|\dirac{a_j}{\psi_i}|^2p_i=\dirac{a_j|\rho}{a_j}$$

密度矩阵

密度矩阵是密度算符在某个表象下的矩阵。其性质主要有

1. $tr(\rho)=1$，直接计算矩阵的迹并利用完全性关系可得。
2. 混合态$tr(\rho^2)<1$，而纯态等于$1$. $$tr(\rho^2)=\sum_{n,i,j}\dirac{n}{\psi_i}p_i\dirac{\psi_i}{\psi_j}p_j\dirac{\psi_j}{n}=\sum_ip_i\left(\sum_ip_j|\dirac{\psi_i}{\psi_j}|^2\right)$$ 混合态对于给定的$\bra{\psi_i}$上式右端括号一定小于$1$，所以上式小于$\sum_ip_i=1$；而纯态明显等于$1$。这可用来进行是否为混合态的判定。
3. 一个算符$\rho$和某系综$\{p_i,\ket{\psi_i}\}$对应，当且仅当$tr(\rho)=1$且$\rho$是半正定的。证略。
4. 若混合态由一系列相互正交的态构成，则$\rho$的本征态就是这些态$\ket{\psi_i}$，对应的本征值就是$p_i$.

复合系统的密度算符和约化密度算符

对于一个两粒子复合系统，态空间的基矢是各自基矢的直积。设1粒子和2粒子各有一套标准正交基$\{\ket{\phi_i}\}$和$\{\ket{\chi_m}\}$，则复合系统基矢为$\ket{\phi_i}\ket{\chi_m}$。设系统处于纯态

$$\ket{\psi}=\sum_i\sum_mc_{i,m}\ket{\phi_i}\ket{\chi_m}$$ 则复合系统的密度矩阵为
$$\rho=\sum_{i,i'}\sum_{m,m'}\ket{\phi_{i'}}\ket{\chi_{m'}}c_{i',m'}c^*_{i,m}\bra{\phi_i}\bra{\chi_m}$$ 对于混合态，密度矩阵写法类似。

现在求1粒子的某个可观测量$F^{(1)}$的期望，算符$F^{(1)}$原本只作用在1粒子的态空间中，为使得其能够作用在复合系统中，使用$F^{(1)}\otimes I$代替之。则期望为

$$\langle F^{(1)}\rangle=tr[(F^{(1)}\otimes I)\rho]=\sum_{j,j'}\sum_{n,n'}\bra{\phi_{j'}}\bra{\chi_{n'}}F^{(1)}\ket{\phi_j}\ket{\chi_n}\bra{\phi_j}\bra{\chi_n}\rho\ket{\phi_{j'}}\ket{\chi_{n'}}\\=\sum_{j,j'}\bra{\phi_{j'}}F^{(1)}\ket{\phi_j}\sum_n\bra{\phi_j}\bra{\chi_n}\rho\ket{\chi_n}\ket{\phi_{j'}}$$ 令$\rho^{(1)}=\sum_n\bra{\chi_n}\rho\ket{\chi_n}=tr_2(\rho)$（称为对2粒子求偏迹），则有（利用完全性关系） $$\langle F^{(1)}\rangle=tr[F^{(1)}\rho^{(1)}]$$ 其中$\rho^{(1)}$称为描述1粒子的约化密度矩阵。从上可知，有复合系统的密度矩阵求偏迹可以得出单个粒子的约化密度矩阵，从约化密度矩阵可以得出关于该粒子的一些状态信息。

如果一个2粒子复合系统的密度矩阵可以写成$\rho=\rho_1\otimes\rho_2$的形式（并非所有的复合系统密度矩阵都能写成两个小系统的密度矩阵的直积形式），则一定有$\rho^{(1)}=tr_2(\rho)=\rho_1$和$\rho^{(2)}=tr_1(\rho)=\rho_2$。为证明，设$\rho_1=\sum_i\ket{\phi_i}p_i\bra{\phi_i}$而$\rho_2=\sum_m\ket{\chi_m}q_m\bra{\chi_m}$则有

$$\rho=\sum_{i,m}\ket{\phi_i}\ket{\chi_m}p_iq_m\bra{\phi_i}\bra{\chi_m}$$ 利用偏迹的定义，有 $$tr_1(\rho)=\sum_j\bra{\phi_j}\sum_{i,m}\ket{\phi_i}\ket{\chi_m}p_iq_m\dirac{\phi_i}{\phi_j}\bra{\chi_m}=\sum_i p_i\sum_m\ket{\chi_m}q_m\bra{\chi_m}=\rho_2$$ 对2粒子求偏迹类似。

引入密度矩阵和约化密度矩阵以后，“一个系统到底处于哪几个态的混合”和“复合系统的一部分是处于纯态还是混合态”这两个问题将会变得很奇特。

先暴露第一个问题。密度矩阵性质4的前提是构成混合态的各纯态都是正交的，现在假设各态$\ket{\psi_i}$不成交，但因为$\rho$是半正定的，必然可以做谱分解$\rho=\sum_i \ket{\phi_i}\lambda_i\bra{\phi_i}$，从这个式子中可以看出该系统也可视为相互正交的$\phi_i$混合构成。这两种看法到底哪个正确？密度算符能给出量子力学能得到的所有信息，因为密度算符一样，所以这两种看法都正确。

为暴露第二个问题，考虑两粒子系统的Bell态$(\ket{00}+\ket{11})/\sqrt{2}$，计算它的密度矩阵，再对2粒子求偏迹得到1粒子的约化密度矩阵$\rho^{(1)}=I/2$. 从复合系统来看，系统显然处于纯态，但是只看1粒子的约化密度矩阵，则$tr(p^{(1)2})=1/2<1$因此是混合态。这是由于复合系统处于纠缠态导致的，可以证明，如果复合系统处于一个纯态，且该纯态是两个子系统的直积态，则子系统的约化密度矩阵给出的一定是纯态。

Schmidt分解和纯化

Schmidt分解定理假设$\ket{\psi}$是复合系统AB的一个纯态，则存在系统A的标准正交基$\{\ket{i_A}\}$和系统B的标准正交基$\{\ket{i_B}\}$满足

$$\ket{\psi}=\sum_i\lambda_i\ket{i_A}\ket{i_B}$$ 其中$\lambda_i$称为Schmidt系数，是非负实数，且满足$\sum_i \lambda_i^2=1$.

作为一个应用，考虑$\ket{\psi}$是复合系统AB的一个纯态，可对它进行Schmidt分解，代入密度算符，得到

$$\rho=\sum_i\sum_j\lambda_i\lambda_j\ket{i_A}\ket{i_B}\bra{j_A}\bra{j_B}$$ 据此求出系统A的约化密度算符为 $$\rho^{(A)}=\sum_i\lambda_i^2\ket{i_A}\bra{i_A}$$ 系统B的约化密度算符类似。

纯化指的是针对一个处于混合态的系统，通过引入另一个假想的子系统，从而使得复合系统处于纯态。给定系统$A$的状态$\rho^{(A)}$，引入另一个假想的系统$R$，$R$具有和$A$相同的状态空间. 设$\rho^{(A)}=\sum_ip_i\ket{i_A}\bra{i_A}$，则对复合系统AR定义纯态

$$\ket{AR}=\sum_i\sqrt{p_i}\ket{i_A}\ket{i_R}$$ 则混合态的密度算符为$\rho=\ket{AR}\bra{AR}$，据此求系统$A$的约化密度算符为 $$tr_R(\ket{AR}\bra{AR})=\sum_{i,j}\sqrt{p_ip_j}\ket{i_A}\bra{j_A}\delta_{ij}=\rho^{(A)}$$ 恰好满足。这就通过引入了一个假想的子系统$R$使得系统$A$的混合态变成复合系统的一个纯态$\ket{AR}$.