关于有限群及其表示

趁着这段时间有空，把这几个月来学的东西总结一遍，我总觉得把学过的东西系统地总结一遍，理清楚其中的线索、动机和实际意义还是很有必要的。除此以外，学完了，然后把东西完整地写下来，往往能发现不少没理解透彻的地方。

大概涉及基本群论、能带理论和一些量子力学。主要参考的书是《物理学中的群论基础》(约什)，《高等量子力学》(喀兴林)，《群论及其在固体物理中的应用》(徐婉棠)，有时也参考一些《现代量子力学》(樱井)。

没有涉及到的而又很重要的且关于群的最最基本的结论就不列举了。
$\def\vec#1{\boldsymbol{#1}}$ $\def\bra#1{\langle#1|}$ $\def\ket#1{|#1\rangle}$ $\def\dirac#1#2{\langle#1|#2\rangle}$

有限群的基本概念

写函数在群的变换规律之前，应该把会用到的基本结论罗列一下。

共轭类

如果有群元素$A,B,C\in G$，且$ACA^{-1}=B$，则称$B$和$C$共轭。共轭具有传递性。因为共轭具有传递性，所以可以给群$G$作一个分割，使得每个小集合内部的群元都互相共轭，每个小集合称之为共轭类。

*在较大群中属于一个类的元素，在较小的子群中不一定还属于同一个类。

陪集和正规子群

设$g$阶群$G$有一个$h$阶子群$H=\{E,H_2,H_3,\cdots\}$，$X$为$G$中任一个元素，则集合$XH=\{XE,XH_2,XH_3,\cdots\}$要么等于$H$要么和$H$交集为空，这取决于$X$是否属于$H$; 如果$X\notin H$则集合$XH$叫做$H$相对于$X$的左陪集；右陪集同理。如果子群$H$对于$\forall X\in G$，左陪集等于右陪集，则称$H$为$G$的一个正规子群/不变子群。

*如果$h$阶群$H$是$g$阶群$G$的一个子群，那么$g$一定是$h$的整数倍，称之为拉格朗日定理。

群的直积

如果$H$为$h$阶群，$G$为$g$阶群，且两群除了单位元$E$以外再没有共同元素，且$H_i$和$G_i$对易，则可以定义直积群$K=G\otimes H=(E,EH_2,EH_3,\cdots,G_2E,G_2H_2,\cdots,G_gH_h)$，这时$G$和$H$必都为$K$的正规子群。

同构

两个$g$阶群$G=\{E,A,B,C,\cdots\}$和$G'=\{E',A',B',C',\cdots\}$之间存在群元的某一一映射关系，即若有$AB=C$则有$A'B'=C'$，群乘法表结构完全相同，则称两个群同构。

同态

如果存在某确定的映射$\phi(\cdot)$使得$G$中每一个元素A对应于$G'$中的素$\phi(A)$，且有$\phi(AB)=\phi(A)\phi(B)$对$\forall A,B\in G$成立，则称存在从G到G’的同态。

注意，可能存在两个不同元素$A,B\in G$，而$\phi(A)=\phi(B)$，即允许多对一映射关系。

态函数的变换

这里函数主要指的是量子力学里面的波函数/态函数$\psi(\vec{r})$，变换指的是位置变换：空间旋转、空间平移、空间反演、反射对称等等操作，它们的特点是：不改变被变换函数的空间分布的任意两点之间的距离，仅仅对函数分布进行整体的对称变换。对于某些特定的物理系统，如果位置变换的集合$\{Q_i\}$作用在系统上而系统保持不变，则$\{Q_i\}$必然构成一个群，称为该系统的对称变换群。

其原因简单说明如下：将空间中的全体位置变换集合记为$C$，如果存在一个物理系统（其实是系统的哈密顿量$H$）在$C$中某些元素的（位置变换）作用下保持不变，就把$C$中满足此性质的所有元素加入集合$\{Q_i\}$，则对集合$\{Q_i\}$中任何两个元素$P,Q$：（1）必然存在单位元；（2）其逆元必然显然使得系统不变的变换，所以包含于$\{Q_i\}$；（3）乘积$PQ$也是使得系统不变的变换，所以包含于$\{Q_i\}$；（4）乘法结合律满足。所以集合$\{Q_i\}$构成一个群。

用位置变换算符$Q$来使得三维位形空间中的点$\vec{r}$被变换移动到点$\vec{r}'$，记为$Q\vec{r}=\vec{r}'$。需要注意的是，我们说“把态函数变换到某处”指的是创建一个新函数，使得新函数在新点$\vec{r}'$处的值等于原函数在老点$\vec{r}$的值。也就是说变换可以写为

$$\psi'(\vec{r}')=\psi(\vec{r})$$ 或者写成 $$\psi'(Q\vec{r})=\psi(\vec{r})$$ 变量代换，把$Q\vec{r}$当作$\vec{r}$，则有 $$\psi'(\vec{r})=\psi(Q^{-1}\vec{r})$$
按上面说的，算符$Q$是把位置矢量进行变换的算符，而给定一个这样的算符以后，由上式可知，变换过后的态函数就确定了，可以说算符$Q$标志了一个态函数之间的映射，这个映射可以定义成一个算符$\hat{D}(Q)$。注意，算符$Q$仅仅对位置矢量进行变换，而算符$\hat{D}(Q)$才是作用在态函数上使之按照$Q$规定的方式变换的算符。这样的$\hat{D}(Q)$意义是明确的，写为 $$\psi'(r)=\hat{D}(Q)\psi(r)=\psi(Q^{-1}r)$$

由于变换$Q$不改变任意两点之间的相对距离，所以一个态函数$\psi(r)$经过$\hat{D}(Q)$变换以后归一化仍保持不变。也就是说$\left<\psi'(\vec{r})|\psi'(\vec{r})\right>=1\Rightarrow \left<\psi(\vec{r})\hat{D}^\dagger(Q)\hat{D}(Q)\psi(\vec{r})\right>=1$对任意态函数都成立，所以

$$\hat{D}(Q)\hat{D}^\dagger(Q)=\hat{D}^\dagger(Q)\hat{D}(Q)=1$$ 从而$\hat{D}(Q)$是一个幺正算符。

对于连续的两次变换$Q_2Q_1$

$$\begin{align}\hat{D}(Q_2)\hat{D}(Q_1)\psi(\vec{r})&=\hat{D}(Q_2)\psi(Q_1^{-1}\vec{r})\\ &=\psi[Q_1^{-1}(Q_2^{-1}\vec{r})]\\&=\psi[(Q_2Q_1)^{-1}\vec{r}]\\&=\hat{D}(Q_2Q_1)\psi(\vec{r})\Rightarrow\hat{D}(Q_2)\hat{D}(Q_1)=\hat{D}(Q_2Q_1)\end{align}$$ 也就是说算符集合$\{\hat{D}(Q_i)\}$也构成一个群，且与群$\{Q_i\}$同态，之所以是同态而不是同构，是因为同构要求一对一映射，而同态可以是多对一映射。（更进一步，如果$\{\hat{D}(Q_i)\}$可以写成矩阵形式，则它就是对称变换群$\{Q_i\}$的一个表示）

以空间转动为例：$Q$把系统对$z$轴旋转$\frac{\pi}{2}$，我们既可以看作坐标轴不变而函数图像对$z$轴旋转了$\frac{\pi}{2}$，称之为主动观点；也可以看作函数图像不变，而坐标轴对$z$轴旋转了$-\frac{\pi}{2}$，称之为被动观点。下面都采用主动观点，因为被动观点有时候会产生一些叙述上的模糊，例如会产生系统所在的外磁场随不随坐标轴转动的问题。

算符对线性空间中矢量的作用

现在看对称变换群的群元算符对所在线性空间的作用是怎样的。注意这里并不仅仅局限于三维位形空间，所以基矢量可以不止3个，而分量系数也可以是复数。

先在定义了内积的空间中看。把线性空间中的矢量$|\Psi\rangle$分解为空间中正交归一的基矢量的线性组合

$$|\Psi\rangle=\sum_iC_i|\psi_i\rangle$$ 在主动观点中，一个矢量$|\Psi\rangle$被变换，也可以分为两种等价的看法：系数不动而把基矢量做变换，或者，基矢量不动而重新计算系数$C_i$.下面分析两种表达方式，并给出矩阵形式。

对于基矢量的变换，由完全性关系

$$\sum_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|=1$$ 从而 $$|\psi'_i\rangle=\hat{Q}|\psi_i\rangle=\sum_j|\psi_j\rangle\langle\psi_j|\hat{Q}|\psi_i\rangle=\sum_j|\psi_j\rangle\hat{Q}_{ji}$$ 其中$\hat{Q}_{ji}=\langle\psi_j|\hat{Q}|\psi_i\rangle$是矩阵元。对于多个基矢量的变换，可以把它们排成行矩阵，写成矩阵乘法形式 $$(|\psi_1\rangle,|\psi_2\rangle,|\psi_3\rangle,\cdots) \begin{pmatrix} \hat{Q}_{11}&\hat{Q}_{12}&\hat{Q}_{13}&\cdots\\ \hat{Q}_{21}&\hat{Q}_{22}&\hat{Q}_{23}&\cdots\\ \hat{Q}_{31}&\hat{Q}_{32}&\hat{Q}_{33}&\cdots\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots \end{pmatrix}=(|\psi'_1\rangle,|\psi'_2\rangle,|\psi'_3\rangle,\cdots)$$ 如果是当作基矢量不变而重新计算系数，则计算如下： $$|\Psi'\rangle=\sum_iC_i|\psi'_i\rangle=\sum_{ij}C_i|\psi_j\rangle\hat{Q}_{ji}=\sum_{j}|\psi_j\rangle\sum_i\hat{Q}_{ji}C_i=\sum_{j}|\psi_j\rangle C'_j$$ 其中 $$C'_j=\sum_i\hat{Q}_{ji}C_i$$ 也可以把$C_i$排成列向量，写成矩阵乘法形式 $$\begin{pmatrix} C'_1\\ C'_2\\ C'_3\\ \cdots \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \hat{Q}_{11}&\hat{Q}_{12}&\hat{Q}_{13}&\cdots\\ \hat{Q}_{21}&\hat{Q}_{22}&\hat{Q}_{23}&\cdots\\ \hat{Q}_{31}&\hat{Q}_{32}&\hat{Q}_{33}&\cdots\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_1\\ C_2\\ C_3\\ \cdots \end{pmatrix}$$ 注意和上面行向量形式对比，使用的方矩阵$\hat{Q}$是同一个矩阵。

如果线性空间没有定义内积，但是群$\{Q_i\}$中的任意元素$Q$对每一个基矢量的作用都是使之变成基矢量组的某个确定的线性组合，也就是说对于$\forall Q,|\psi_i\rangle$，下式成立，且其中的矩阵$\hat{Q}_{ji}$已被给定

$$|\psi'_i\rangle=\hat{Q}|\psi_i\rangle=\sum_j|\psi_j\rangle\hat{Q}_{ji}$$ 则仿照上面的推导，可以发现这时和上面正交归一的情况一样：基矢量既可以排成行向量，使用方阵$\hat{Q}_{ji}$右乘之使其变换，也可以把分量系数排成列向量，用方阵$\hat{Q}_{ji}$左乘使之变换。只不过现在所谓的矩阵$\hat{Q}_{ji}$并非是用左右矢量夹住算符作内积得出来的，而是事先给定的。

算符对函数的作用

上面推导了群$\{Q\}$的元对某线性空间中矢量的作用，类似于讨论了三维旋转对三维位形空间中三维矢量的作用。

和上面一样，仍然不限于三维位形空间。只不过现在要更抽象一层。假设一组函数建立在线性空间之上，明确的说，是定义一个函数$f$，把线性空间$S$中的任意一个矢量$\vec{r}$作为$f$自变量，记为$f(\vec{r})$。类似于三维位形空间中态函数$\psi(\vec{r})$被旋转，在线性空间$S$中利用算符$\hat{Q}$使得其中矢量$\vec{r}$被旋转，表示为$\vec{r}'=\hat{Q}\vec{r}$，则函数分布$f(\vec{r})$也被旋转为$f'(\vec{r})$，其意义为“老函数在老点的值等于新函数在新点的值”，从而表示为$f(\vec{r})=f'(\hat{Q}\vec{r})$. 把由$\hat{Q}$决定的从函数$f(\vec{r})$到函数$f'(\vec{r}$的映射记为算符的作用$f'(\vec{r})=\hat{D}(Q)f(\vec{r})$，则有

$$f'(\vec{r})=\hat{D}(Q)f(\vec{r})=f(\hat{Q}^{-1}\vec{r})$$ 这就是建立在线性空间上的函数是如何变换的。与前面态函数的变换完全类似，只不过那里的线性空间是三维实空间，这里的线性空间并不局限于三维实空间。如果变换$\{Q\}$构成群，不难证明算符集合$\{\hat{D}(Q)\}$也是一个群。与态函数的变换类似，可以证明群$\{Q\}$和群$\{\hat{D}(Q)\}$同态。

综上所述，群$\{\hat{D}(Q)\}$是作用在$f(\vec{r})$上使其变换的，如果此时定义一组$\{f_i(\vec{r})\}$使得群$\{\hat{D}(Q)\}$对其的作用是使每个函数变成它们自己的线性组合，则这组函数也张成一个空间（注意和原来的那个线性空间不是一个层面上的），而这组函数自己叫做基函数，它们可以生成群$\{\hat{D}(Q)\}$的表示。

要记住，$\hat{Q}$是作用在线性空间中的任意矢量$\vec{r}$或线性空间的基矢量上的；而$\hat{D}(Q)$是作用在函数$f(\vec{r})$上的，如果一组函数满足基函数的条件，则它们也张成一个新的线性空间，这组基函数就是该线性空间中的基矢，从而$\hat{D}(Q)$可以作用在该空间的矢量上。

有限群的表示

表示的定义

设$G=\{E,A,B,C,\cdots\}$为$g$阶有限群，而$T=\{T(E),T(A),T(B),T(C),\cdots\}$为一组阶数相同的非奇异方阵，且满足$T(A)T(B)=T(AB)$，则称集合$T$为群$G$的一个表示，$T$中的方阵的阶数称为表示的维数。

需要注意的是矩阵集合$T$在矩阵乘法意义下，并不一定是群。因为有可能会有相同的矩阵，如果能排除这一点，那么$T$就构成群。进一步地，如果$T$中没有相同元素，那么群$G$与群$T$同构，并把表示$T$称为$G$的忠实表示；如果仅仅是同态关系，则称为非忠实表示。

不论群结构与实际意义如何，令每个群元素对应数$1$，则集合$T=\{1,1,1,1,\cdots\}$称为群$G$的单位表示。

*单位元$E$的表示矩阵必然是单位阵，只有单位阵才具有乘以任何矩阵都等于其本身的性质。并且利用表示的定义，可以得出$T(A^{-1})=[T(A)]^{-1}$.

在线性空间中的表示

回顾前面说的，对称性群$\{Q_i\}$和算符群$\{\hat{D}(Q_i)\}$是同态的关系（并不一定只限于三维位形空间），令$L_n$为算符$\{\hat{D}(Q_i)\}$作用的$n$维矢量空间，而$\{\psi_i\}$是矢量空间的正交归一基函数（先在空间定义内积），于是群$\{\hat{D}(Q_i)\}$的一个元素$\hat{D}(A),A\in \{Q_i\}$对基函数的作用由下式给出

$$\hat{D}(A)\phi_i=\sum^n_{j=1}\phi_j\hat{D}_{ji}(A)$$ 其中 $$\hat{D}_{ji}(A)=\langle\phi_j|\hat{D}_{ji}(A)\phi_i\rangle$$ 为矩阵元。这些都是前面已经得出的（利用完备性关系，算符再作用上来blabla）。
现在考虑接连两个算符的作用
$$\hat{D}(A)\hat{D}(B)\phi_i=\hat{D}(A)\sum^n_{j=1}\phi_j\hat{D}_{ji}(B)=\sum^n_{k,j=1}\phi_k\hat{D}_{kj}(A)\hat{D}_{ji}(B)$$ 另一方面
$$\hat{D}(A)\hat{D}(B)\phi_i=\hat{D}(AB)\phi_i=\sum_k\phi_k\hat{D}_{ki}(AB)$$ 其中，$\hat{D}_{ki}(AB)$是矩阵元（第一个等号的得出是由于变换群$\{Q_i\}$和算符群$\{\hat{D}(Q_i)\}$是同态关系，这是前面已经证明了的）。

对比上面两式右端，有

$$\sum_{j=1}^n\hat{D}_{kj}(A)\hat{D}_{ji}(B)=\hat{D}_{ki}(AB)$$ 写成矩阵的形式就是 $$[\hat{D}(A)][\hat{D}(B)]=[\hat{D}(AB)]$$ 注意这是矩阵方程，就是算符在两个基函数之间的矩阵元组成的那个矩阵（上式不是算符等式，当然，上式如果作为算符等式也成立，但那是我们已经知道的：群$\{Q_i\}$和群$\{\hat{D}(Q_i)\}$是同态关系）。

至此，证明了一个算符群的表示可以取作其在某组正交归一基矢量（基函数）张成的线性空间中的矩阵形式$[\hat{D}(Q_i)]$，也常说成是某线性空间生成了某群的一个表示。

打方括号不方便，有时候也使用符号$T$代表表示矩阵。

既然”一个算符群的表示可以取作其在某组正交归一基矢量（基函数）张成的线性空间中的矩阵形式”，那么基函数如果不正交归一呢？如果基函数不是正交归一的，但仍是线性独立的，且任意一个基函数在群元素的变换下，都得到该基函数组的确定的线性组合，那么由这组基函数也可以生成群的一个表示（甚至不要求线性空间定义内积），生成的表示就是线性变换的那组矩阵，因为这组矩阵满足表示的定义。

即使不给空间定义内积也可以证明这个结论，证明过程和上面在正交归一情况下的证明完全类似。只不过表示矩阵不一定是幺正矩阵而已。

$\ast$在定义了内积的情况下，如果要求群算符满足条件：空间中任何矢量在变换前后内积保持不变，则群元算符一定是幺正算符，但是表示不一定是幺正矩阵，这时候可以给基矢作施密特正交化处理可以使得表示为幺正矩阵，此时的基矢叫做对称化的基矢。

等价表示

如果存在一个非奇异矩阵$S$使得群$G$的两个表示$T_1,T_2$有$T_1(A)=S^{-1}T_2(A)S,\forall A\in G$，则称两个表示等价。

也就是说如果存在相似变换联系两个表示，则两个表示等价。用线性空间中的语言来解释：尽管在线性空间中选择的基不同，但是同一个变换算符的矩阵形式在两组基下是相似的。

*可以证明任何表示$T$都可以通过相似变换变为等价的幺正表示(表示的每个矩阵都是幺正矩阵)。所以以后只用讨论幺正表示就好了，把幺正表示记为$\Gamma$.

用线性空间的语言来解释上面的结论，就是：把基矢量组从斜交的变成正交的(回忆在量子力学中，正交的基矢量组下，态矢量之间的变换算符一定是幺正算符)。需要注意的是，同一个表示可能会有多个等价的幺正表示(比如只调换一下基矢量的次序，矩阵就会不同，但仍是幺正的)。

不变子空间和可约表示

$n$维矢量空间$L_n$中，若$\forall \varphi\in L_n,\forall A\in G$有$A\varphi\in L_n$，则称$L_n$在群$G$下封闭。若$L_n$为$G$下的封闭空间，又有一个真子空间$L_m\in L_n$也是$G$下的封闭空间，则称$L_m$是$L_n$在群$G$下的不变子空间，而$L_n$在$G$下可约。

可以证明（其实证明很容易，就是利用不变子空间的性质：属于这个空间的基矢量被群元算符作用以后不会跑出这个空间）若$T$是群$G$在空间$L_n$上的一个表示，且$L_n$在$G$下有不变子空间$L_m,(m<n)$则在适当的基函数(把张成空间$L_m$的$m$个基矢量取为第$1\sim m$个基矢量)之下，表示矩阵具有形式

$$T(A)= \begin{pmatrix} T^{(1)}_{m,m}(A)&X(A)_{m,n-m}\\ O_{n-m,m}&T^{(2)}_{n-m,n-m}(A) \end{pmatrix}$$ 对$\forall A\in G$成立，其中左下角是一个维数为$(n-m)\times m$的零矩阵。
考虑$AB=C$，让两个矩阵相乘$T(A)T(B)=T(AB)=T(C)$ $$\begin{align}T(C)&= \begin{pmatrix} T^{(1)}(A)T^{(1)}(B)&T^{(1)}(A)X(B)+X(A)T^{(2)}(B)\\ O&T^{(2)}(A)T^{(2)}(B) \end{pmatrix}\\&=T(AB)= \begin{pmatrix} T^{(1)}(AB)&X(AB)\\ O&T^{(2)}(AB) \end{pmatrix} \end{align}$$ 对比上式中两个矩阵，可得$T^{(1)}(A)T^{(1)}(B)=T^{(1)}(AB)$，$T^{(2)}(A)T^{(2)}(B)=T^{(2)}(AB)$，也就是说，在不变子空间$L_m$中$T^{(1)}$是群的维度为$m$的一个表示(在另一个不变子空间中，$T^{(2)}$是群的维度为$n-m=p$的一个表示)。这时，称表示$T$可约，可见，表示的可约性取决于生成表示的线性空间是否存在不变子空间。

当表示是幺正表示时，上面出现的$X(\cdot)$矩阵都为零矩阵（这个证明也很容易，利用幺正矩阵每列都是归一的），从而形式上更对称

$$\Gamma(A)= \begin{pmatrix} \Gamma^{(1)}_{m,m}(A)&O_{m,n-m}\\ O_{n-m,m}&\Gamma^{(2)}_{n-m,n-m}(A) \end{pmatrix}$$ 对$\forall A\in G$成立，继续在两个不变子空间中寻找更小的不变子空间，调整其基矢量按上面步骤继续约化，直到无法约化(再找不到更小的不变子空间)为止，表示最终化为 $$\Gamma(A)= \begin{pmatrix} \Gamma^{(1)}(A)&&&\\ &\Gamma^{(2)}(A)&&\\ &&\ddots&\\ &&&\Gamma^{(s)}(A) \end{pmatrix}$$ 其中对角元都是分块矩阵，每个块称之为群的不可约表示，而称原表示$\Gamma$的这种分块对角形式是完全约化的。最终完全约化的表示$\Gamma$可以表示为 $$\Gamma=a_1\Gamma^{(1)}\oplus a_2\Gamma^{(2)}\oplus\cdots\oplus a_s\Gamma^{(s)}=\sum_i^\oplus a_i\Gamma^{(i)}$$
不等价不可约表示的数量是有限的，恰好等于群中类的数量，这个在后面说明。

大正交性定理

对于群$G$的两个不等价不可约表示$\Gamma^{(i)},\Gamma^{(j)}$维数分别为$l_i,l_j$，则

$$\sum_{A\in G}\Gamma^{(i)}_{km}(A)\Gamma^{(j)*}_{sn}(A)=\frac{g}{l_i}\delta_{ij}\delta_{ks}\delta_{mn}$$ 其中加*的表示复共轭。这个结论称为大正交性定理。

其证明需要用到舒尔（Schur）引理。

要理解这个定理的意义，需要引入群空间的概念。把群元当作基矢量，也把群元当作变换算符，因为算符作用到基矢量上得到新的基矢量，这没有问题。所以把群元当作基矢量而张成的空间称之为群空间，空间的维数就是群的阶。在此基础上再引入表示矢量的概念，表示矢量存在于群空间之中，记为$\Gamma^{(i)}_{km}$，这个矢量由$(i,k,m)$三个量标定，因而这种矢量的数量是有限的，取遍了组合$(i,k,m)$，则这种矢量也就取遍了，因而其数量为$\sum_il_i^2$.

而$\Gamma^{(i)}_{km}(A)$很自然地就是这个表示矢量在基矢量$A$上的分量系数。所以大正交性定理中等式左边就是两个表示矢量的内积。它说的就是：表示矢量总是正交的。

我们知道，如果两个矢量正交，那么它们一定相互独立，而大正交性定理说的是所有的表示矢量都正交，从而所有的表示矢量都独立。另一方面，表示矢量存在于群空间之中，群空间的维数就是阶$g$，而线性空间中独立矢量个数一定不大于空间的维数，所以有

$$\sum_il_i^2\leqslant g$$ 后面将说明这个式子总是取等号。

特征标

对于同一个不可约表示而言，其等价表示有很多，但其本质都是一样的，仅仅相差了一个相似变换的手续而已。为了抓住众多等价表示的共同点，定义表示的特征标，从而去除了对基矢量的依赖性。

特征标$\chi(A)$为表示矩阵$T(A)$的迹，$\forall A \in G$

因为迹在相似变换下是不变的，所以等价表示的特征标也一定保持一致。但正因为迹是相似变换不变的，所以如果$A,B$是共轭元素，那么它们的特征标一样。换句话说，特征标是共轭类的函数。

利用大正交性定理，代入$k=m,s=n$并对$k,s$求和，结合特征标的定义式，可得

$$\sum_{A\in G}\chi^{(i)}(A)\chi^{(j)*}(A)=g\delta_{ij}$$ 也可以改写成 $$\sum_k\sqrt{\frac{n_k}{g}}\chi_k^{(i)}\sqrt{\frac{n_k}{g}}\chi_k^{(j)*}=\delta_{ij}$$ 其中$n_k$是第$k$个共轭类中元素的个数，对所有共轭类求和。

类似地，可以定义类空间，其维数等于$G$中类的个数，$\sqrt{\frac{n_k}{g}}\chi_k^{(i)}$作为一个基矢量。再定义特征标矢量$\chi^{(i)}$，仅由$i$标定，数量等于不等价不可约表示的数量。上式告诉我们特征标矢量是正交的（独立的）所以类似的得出结论：不等价不可约表示的数量$\leqslant$类数量

，后面会说明，这里其实也总取等号。

可约表示的完全约化形式

如果已知了群的所有不等价不可约表示的形式，如何知道一个可约表示的完全约化形式中包含那几个不可约表示的直和？换句话，如何知道其完全约化形式中每个不可约表示出现的次数？取下面式子的迹

$$\Gamma=a_1\Gamma^{(1)}\oplus a_2\Gamma^{(2)}\oplus\cdots\oplus a_s\Gamma^{(s)}=\sum_i^\oplus a_i\Gamma^{(i)}$$ 得到 $$\chi(A)=\sum_ia_i\chi^{(i)}(A)$$ 用$\chi^{(j)*}(A)$乘以上式两边，并对群元$A$求和，利用特征标的正交性，得到 $$a_i=\frac{1}{g}\sum_{A\in G}\chi^{(i)*}(A)\chi(A)$$ 不可约表示的特征标称为单纯特征标，可约表示的特征标称为复合特征标，复合特征标可以表达为单纯特征标的组合，上式给出了组合系数。

如果一个表示是不可约表示，那么各系数$\{a_i\}$必然只有一个等于1，而其余都为0，将下式乘以它自己的复共轭，对所有群元素求和，两边除以群的阶$g$

$$\chi(A)=\sum_ia_i\chi^{(i)}(A)$$ 可得

$$\frac{1}{g}\sum_{A\in G}\chi^*(A)\chi(A)=\sum_i|a_i|^2$$ 当一个表示为不可约表示时，上式右边为1，所以一个表示为不可约表示的充要条件是 $$\sum_{A\in G}\chi^*(A)\chi(A)=g$$

正规表示

前面说到群空间的概念：把群元当作基矢量，也把群元当作变换算符，因为重排定理，算符作用到基矢量上得到新的基矢量。在这里，群$G$的群空间中变换算符群（还是$G$）的表示就称为群$G$正规表示。因为群空间是$g$维的，所以正规表示就是$g$维的。

上面那句话有点绕，展开说就是，设$\overrightarrow{R},\overrightarrow{S},\overrightarrow{T},\overrightarrow{P},\cdots$是基矢量，设$\hat{L},\hat{M},\cdots$是算符，本质上都是群$G$的元素，这里只不过为了区分换了个记号而已。设算符们在此群空间中的表示为$\hat{D}(L),\hat{D}(M),\cdots$，则有

$$\hat{L}\overrightarrow{S}=\sum_R\overrightarrow{R}\hat{D}_{RS}(L)$$ 上式中的$RS$为矩阵下标。因为正规表示的基是群元素，所以上式直接用了群元素代替序号来给矩阵元标号。
另一方面因为算符$\hat{L}$也是群元素，所以上式左边还等于$\overrightarrow{LS}$，所以有 $$\overrightarrow{LS}=\sum_R\overrightarrow{R}\hat{D}_{RS}(L)$$ 对比两边，可得 $$\hat{D}_{RS}(L)=\delta_{LS,R}$$ 这就是正规表示的矩阵元，一般把正规表示记为$\Gamma^{reg}$。实际上，对照乘法表，根据上式获取正规表示是十分简单的。

注意正规表示的特点：除了单位元的表示矩阵迹为$g$以外，其余群元的正规表示的迹都是零。而且对于任何群元，其正规表示每行每列有且仅有一个1，其余都是0.

正规表示很有用，不妨先看看它可以约化成哪几种不可约表示，每个不等价不可约表示出现几次。前面已经求出

$$a_i=\frac{1}{g}\sum_{A\in G}\chi^{(i)*}(A)\chi^{reg}(A)$$ 因为正规表示中，单位元的迹为$g$，非单位元迹为0，所以上式变为 $$a_i=\chi^{(i)*}(E)=l_i$$ 也就是说在正规表示中，每个不等价不可约表示出现的次数等于它的维数。所以有$\Gamma^{reg}=\sum_il_i\Gamma^{(i)}$取上式两边的迹，可得

$$\chi^{reg}(E)=\sum_il_i\chi^{(i)}(E)\Rightarrow g=\sum_il_i^2$$ 这正是上面那个不等式取了等号。也就是说，在群空间里，表示矢量正好构成正交完备集，可以推得特征标矢量也是类空间中的正交完备集，从而有$G$的不等价不可约表示数目=$G$的类数，这就说明了一个有限群的不等价不可约表示数目是有限的。

所以求一个群的所有不等价不可约表示，先求类数，它就是不可约表示的数量，再根据上式往往可以确定出各个不可约表示的维数，知道了维数以后往往可以很方便地求出不可约表示的矩阵。下面都假设群$G$的所有不等价不可约表示矩阵已经求出来了。

如何约化一个表示

前面只求出来，一个表示的完全约化形式中含有哪几个不等价不可约表示，没有具体说如何约化。但这个已经相当于告诉了我们，任意一个可约表示的完全约化形式的结构是怎样的：我们知道完全约化形式中会出现那几个不可约表示、出现几次，而每个不可约表示每次出现的次序是可以任意规定的可以是$diag(\Gamma^{(1)},\Gamma^{(2)},\Gamma^{(3)})$，也可以是$diag(\Gamma^{(3)},\Gamma^{(2)},\Gamma^{(1)})$。

另一方面我们已经知道，所谓约化的过程，就是不断寻找不变子空间的过程，把张成不变子空间的的基矢量聚集起来形成新的基矢量组。本质上还是调整线性空间的基矢量组，所以一定可以通过一个幺正变换来一步实现。

也就是说要找到一个幺正矩阵$U$使得$U^{-1}\Gamma(A) U=\Gamma_{red}(A),\forall A\in G$其中$\Gamma_{red}$具有完全约化的分块对角形式。采用前面说的“变换算符只改变基矢量而不改变系数分量”的方法，把基矢量排成一个行向量，则群元素$A$的作用表示为$A\Phi=\Phi\Gamma(A)$，其中$\Phi=(\phi_1,\phi_2,\cdots)$为行向量，给上式两边右乘$U$得到

$$A\Phi U=\Phi UU^{-1}\Gamma(A)U$$ 上式表明，如果使用$\Phi U$作为基矢量，则群元$A$的表示矩阵就是分块对角的$\Gamma_{red}$. 把新的基矢量$\Phi U$记为$\Psi$，把行矢量形式的$\Psi=\Phi U$展开写成基矢量分量形式如下

$$\psi_i=\sum_{j=1}^n\phi_jU_{ji}$$ 现在把上式改写成新的形式 $$\psi_{pm}^\alpha=\sum_{i=1}^n\phi_iU_{\alpha pm}^i \tag{$\ast$}$$ 其中$\psi^\alpha_{pm}$是指在完全约化形式中，第$p$个出现的不可约表示$\Gamma^{(\alpha)}$的第$m$个基矢量，$U^i_{\alpha pm}$也类似，数组$(\alpha ,p,m)$确定了$U$的某一行，而$i$确定了$U$的列。在这种表达方式下，$\psi^\alpha_{pm}$和$U^i_{\alpha pm}$不过是$\psi_i$和$U_{ji}$的另一种记法。

采用上面的编号形式，让群元$A$作用在$(\ast)$式上，因为$\psi_{pk}^\alpha$是属于第$\alpha$个不变子空间的第$m$个基矢量，得到

$$\sum^{l_\alpha}_{k=1}\psi_{pk}^\alpha\Gamma^{(\alpha)}_{km}(A)=\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}\phi_j\Gamma_{ji}(A)U^i_{\alpha pm}$$ 上式中$\Gamma^{(\alpha)}$是第$\alpha$个不可约表示。对上式左端再次应用$(\ast)$式，再对比方程两边的$\phi_i$的系数，可得

$$\sum^{l_\alpha}_{k=1}U_{\alpha pk}^s\Gamma_{km}^{(\alpha)}(A)=\sum^n_{i=1}\Gamma_{si}(A)U^i_{\alpha pm}$$ 观察上面这个式子，联系了现有的可约表示$\Gamma(A)$、已经完全知道了的所有的群的不等价不可约表示$\Gamma^{(\alpha)}$和未知的幺正矩阵$U$；只要所有不可约表示矩阵已知，利用这个式子就可以完全确定出矩阵$U$. 在大多数情况下，可约表示的每行每列往往只有一个非零元，使用上式没有那么麻烦。

一旦知道了幺正变换矩阵$U$，把它作用到已有的基矢量上，得到新的基矢量组中，各个基矢量就都是对应的不可约表示的不变子空间的基矢量，称为不可约表示的对称化基矢量。

表示的直积

按照定义，群的表示就是一组矩阵，那么同属于群$G$的两个表示（可约或不可约表示）$\Gamma^{(a)}$和$\Gamma^{(b)}$矩阵的直积具有什么特性？结论是：仍是群$G$的一个表示。

设$\Gamma=\Gamma^{(a)}\otimes\Gamma^{(b)}$，考虑$A,B,C\in G$满足$AB=C$，则

$$\begin{align}\Gamma(A)\Gamma(B)&=\left[\Gamma^{(a)}(A)\otimes\Gamma^{(b)}(A)\right]\left[\Gamma^{(a)}(B)\otimes\Gamma^{(b)}(B)\right]\\&=\left[\Gamma^{(a)}(A)\Gamma^{(a)}(B)\right]\otimes\left[\Gamma^{(b)}(A)\Gamma^{(b)}(B)\right]\\&=\Gamma^{(a)}(C)\Gamma^{(b)}(C)\\&=\Gamma(C)\end{align}$$ 符合表示矩阵的定义，而且一般来说，若两表示都可约，那么直积表示也可约。

那么一个直积表示的完全约化形式是怎样的？先看两个不可约表示的直积的约化，设两个不可约表示$\Gamma^{(i)}$和$\Gamma^{(j)}$满足

$$\Gamma^{(i)}\otimes\Gamma^{(j)}=\sum_k^\oplus x_k^{(ij)}\Gamma^{(k)}$$ 再设两个可约表示$\Gamma^{(a)}$和$\Gamma^{(b)}$则有 $$\Gamma^{(a)}\otimes\Gamma^{(b)}=\sum^\oplus_{ij}a_ib_j\Gamma^{(i)}\otimes\Gamma^{(j)}=\sum^\oplus_{ijk}a_ib_jx_k^{(ij)}\Gamma^{(k)}$$ 量子力学中，所谓角动量C-G系数，就是把不可约表示的直积矩阵约化为不可约表示的直和的幺正矩阵的矩阵元。

还有一个问题，既然表示矩阵的直积矩阵也是群的一个表示，那么这个表示的基矢量是什么？结论是：是原基矢量的直积矢量。可以简单证明一下：令$\{\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{l_i}\}$为表示$\Gamma^{(i)}$的基，令$\{\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_{l_j}\}$为表示$\Gamma^{j}$的基，取两组基的直积为新的基$\psi_{mn}=\phi_m\otimes\lambda_n$（共有$l_il_j$个），考虑群元算符$\forall A\in G$对基的作用：

$$\begin{align}A\psi_{mn}&=A(\phi_m\otimes\lambda_n)=(A\phi_m)\otimes(A\lambda_n)\\&=\left[\sum_k\phi_k\Gamma^{(i)}_{km}(A)\right]\otimes\left[\sum_l\lambda_l\Gamma^{(j)}_{ln}(A)\right]\\&=\sum_{kl}\psi_{kl}\left[\Gamma^{(i)}(A)\otimes\Gamma^{(j)}(A)\right]_{kl,mn}\end{align}$$ 对比上式最左端和最右端，如果基恰好是$\psi_{mn}=\phi_m\otimes\lambda_n$的话，则群元算符对它的作用矩阵恰好是前面说到的矩阵的直积，符合预期。

$\ast$“表示矩阵的直积表示的基是各自基的直积”这一点可以从这里理解：考虑一个二电子体系，比如氦原子。如果每个电子态函数按照群的不可约表示进行变换，那么二电子体系的态函数就整体按照表示的直积进行变换，此时系统的基矢量自然就是两个单电子基矢量的直积。

直积群的表示

前面说到，两个表示矩阵的直积仍然是群的表示，是同一个群的两个表示之间的事情。这里说的是直积群的表示，是两个群生成的一个大群的事情，是不一样的。

回顾直积群的概念，要形成直积群有两个条件，一是除了单位元不能有相同的元素，二是两群元素相互对易。所以一个群不能自己和自己形成直积群。

设$H=\{E,H_2,H_3,\cdots,H_h\}$，$G=\{E,G_2,G_3,\cdots,G_g\}$分别为$h$和$g$阶群。直积群记为（阶为$k=hg$）$K=\{E=K_{11},K_{12},K_{13},\cdots,K_{1g},K_{21},\cdots,K_{hg}\}$，其中$K_{ij}=H_iG_j$，不妨设$H_iH_m=H_p$，$G_iG_n=G_q$，则群$K$的封闭性表现为

$$K_{ij}K_{mn}=(H_iG_j)(H_mG_n)=(H_iH_m)(G_jG_n)=H_pG_q=K_{pq}\tag{$\ast\ast$}$$ 令$\Gamma^{(h)}$为$H$的表示，$\Gamma^{(g)}$为$G$的表示，则 $$\Gamma^{(h)}(H_i)\Gamma^{(h)}(H_m)=\Gamma^{(h)}(H_p)\\\Gamma^{(g)}(G_j)\Gamma^{(g)}(G_n)=\Gamma^{(g)}(G_q)$$ 取上面两式直积，则有

$$\begin{align}\Gamma^{(h)}(H_p)\otimes\Gamma^{(g)}(G_q)&=\Gamma^{(h)}(H_i)\Gamma^{(h)}(H_m)\otimes\Gamma^{(g)}(G_j)\Gamma^{(g)}(G_n)\\&=\left[\Gamma^{(h)}(H_i)\Gamma^{(g)}(G_j)\right]\otimes\left[\Gamma^{(h)}(H_m)\Gamma^{(g)}(G_n)\right]\end{align}$$ 观察上式，如果定义群$K$的表示为 $$\Gamma^{(k)}(K_{pq})=\Gamma^{(h)}(H_p)\otimes\Gamma^{(g)}(G_p)$$ 则就有 $$\Gamma^{(k)}(K_{pq})=\Gamma^{(k)}(K_{ij})\Gamma^{(k)}(K_{mn})$$ 对比封闭性的$(\ast\ast)$式，恰好符合表示的定义。

所以，两个相互对易的群的表示的直积是其直积群的一个表示。

如果$\Gamma^{(h)}$和$\Gamma^{(g)}$分别是群$H,G$的不可约表示，则其表示的直积是$K$的不可约表示。这一点很容易证明，利用两点：1.表示不可约的充要条件；2.矩阵直积的迹等于原来两个矩阵的迹的乘积。进一步，还可以证明由$H$和$G$的不可约表示的直积生成的$K$的不可约表示是$K$的全部的不等价不可约表示。证明这一点也很容易：对所有的直积生成的表示，利用$\sum_i[l_i^{(k)}]^2=k$即可。如果群$H$的不等价不可约表示有$C_h$种，群$G$的不等价不可约表示有$C_g$种，则它们生成的直积有$C_hC_g$种，从而群$K$的不等价不可约表示一共也有且仅有$C_hC_g$种。

关于基矢量，由直积生成的$K$群的表示的基矢量，仍然是$H$和$G$原来表示的基矢量的直积。其证明思路和前面“直积表示的基矢量为各自表示的基矢量的直积”证明思路类似。

基函数的正交性

设$T$为对称性群$G$的可约表示，$\Gamma$为其完全约化形式，$\psi_{p,m}^{(\alpha)}$为其中第$p$次出现的编号为$\alpha$的不可约表示的第$m$个基函数。下面总结都是在定义了内积的表示空间进行的。

现在假设对称性群$G$不改变函数空间的内积（保持态函数归一化不变），对$\forall A\in G$有

$$\begin{align}\langle\psi_{p,m}^{(\alpha)}|\psi_{q,n}^{(\beta)}\rangle&=\langle A\psi_{p,m}^{(\alpha)}|A\psi_{q,n}^{(\beta)}\rangle\nonumber\\ &=\left(\sum_{k=1}^{l_\alpha}\langle\psi_{p,k}^{(\alpha)}|\Gamma^{(\alpha*)}_{k,m}(A)\right)\left(\sum_{l=1}^{l_\beta}|\psi_{q,l}^{(\beta)}\rangle\Gamma^{(\beta)}_{l,n}(A)\right)\nonumber\\ &=\sum_{k=1}^{l_\alpha}\sum_{l=1}^{l_\beta}\Gamma^{(\alpha*)}_{k,m}(A)\Gamma^{(\beta)}_{l,n}(A)\langle\psi_{p,k}^{(\alpha)}|\psi_{q,l}^{(\beta)}\rangle\nonumber \end{align}$$ 上式对所有群元$A\in G$求和，并除以群阶$g$得到（使用一次大正交性定理） $$\begin{align}\langle\psi_{p,m}^{(\alpha)}|\psi_{q,n}^{(\beta)}\rangle&=\frac{1}{g}\sum_{A\in G}\sum_{k=1}^{l_\alpha}\sum_{l=1}^{l_\beta}\Gamma^{(\alpha*)}_{k,m}(A)\Gamma^{(\beta)}_{l,n}(A)\langle\psi_{p,k}^{(\alpha)}|\psi_{q,l}^{(\beta)}\rangle\nonumber\\ &=\delta_{\alpha,\beta}\delta_{m,n}\frac{1}{l_\alpha}\sum_{k=1}^{l_\alpha}\sum_{l=1}^{l_\beta}\delta_{k,l}\langle\psi_{p,k}^{(\alpha)}|\psi_{q,l}^{(\beta)}\rangle\nonumber \end{align}$$ 上式表明，如果不是同一个不等价不可约表示，则基函数正交。如果是同一个不等价不可约表示，基函数的编号不一样，也正交。只有对于同一个不等价不可约表示的同一个编号的基函数，才不正交。

另外还能发现上式最右端表明这个内积值和$m$无关，也就是说，第$p$个$\alpha$不可约表示的第$k$个基函数与第$q$个$\alpha$不可约表示的第$k$个基函数的内积等于第$p$个$\alpha$不可约表示的第$k+1$个基函数与第$q$个$\alpha$不可约表示的第$k+1$个基函数的内积。

上面的所有推导，都是基于在内积不变这一个线索，只不过使用了一次大正交性定理而已。所以说，基函数的正交性完全来自于对称性群的内积不变性。

$\ast$这些推导都是建立在有限群的基础上，理论表明对于紧致的连续群也成立。

群的其他结论

$\ast$ $g$阶有限群$G$的元素$A$，满足$A^n=E$的最小的正整数$n$称为元素$A$的阶。群阶必为元素阶$n$的整数倍。

$\ast$阿贝尔群的不可约表示一定是一维的。

$\ast$关于共轭类：

1. 转动角度不同的操作必然不属于一个类；
2. 绕某轴转$\alpha$操作与绕该轴转$-\alpha$操作一定属于一个类；
3. 绕不同轴转同一角度或者按不同平面反射操作属于同一个类，当且仅当群内存在操作使得两个轴或平面能从一个变到另一个。

$\ast$3阶及以下群一定是循环群，4阶群有两种结构：（1）循环群；（2）非循环阿贝尔群$\{E,A,B,C\}$满足$A^2=B^2=C^2=E$且$AB=C,BC=A,CA=B$.

$\ast$5阶群一定是循环群，6阶群有两种结构：（1）循环群；（2）非循环且非阿贝尔群$\{E,A,B,C,D,F\}$满足$A^3=B^3=E,C^2=D^2=F^2=E$且$B=A^2,AC=F,CA=BC=D$.

$\ast$有限群的生成元：一个满足以下条件的元素个数最少的集合：利用合成法则可由该集合中元素得到所有群的元素。