关于群论在量子力学中的应用

基本上还是接着上一篇总结来写的，上一篇总结了连续群的基本概念，$SU(2),SO(3)$群及其表示，角动量理论，物理涉及的不是很多。

这篇总结大概涉及到平移与旋转变换、简并微扰的群伦解释和各向同性谐振子、氢原子的例子。参考书还是那几本。

$\def\vec#1{\boldsymbol{#1}}$ $\def\bra#1{\langle#1|}$ $\def\ket#1{|#1\rangle}$ $\def\dirac#1#2{\langle#1|#2\rangle}$

抽象希尔伯特空间和函数空间

量子态$|\psi\rangle$是抽象希尔伯特（Hilbert）空间中的一个矢量，函数空间是一种希尔伯特空间，里面的元素都是满足构成希尔伯特空间的函数。这两个空间同构。

位形空间的变换算符$\{Q\}$通过对三维矢量的变换而实现了对函数空间中各个函数的变换，相应的对函数的变换算符为$\{\hat{D}(Q)\}$。前面已经证明，如果$\{Q\}$构成群，则$\{\hat{D}(Q)\}$也构成群，与前者同态。因为抽象希尔伯特空间与函数希尔伯特空间同构，所以相应的作用在抽象态矢量$|\psi\rangle$上的算符记为$\{D(Q)\}$，它与$\{\hat{D}(Q)\}$同构。

空间平移群

设三维位形空间中，平移群为$\{Q\}$，其中元素的作用是$\boldsymbol{r'}=Q(\boldsymbol{\lambda})\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r+\lambda}$，为了简洁，直接把$\hat{D}(Q(\boldsymbol{\lambda}))$和${D}(Q(\boldsymbol{\lambda}))$记为$\hat{D}(\boldsymbol{\lambda})$和$D(\boldsymbol{\lambda})$. 从而有

$$\hat{D}(\boldsymbol{\lambda})\psi(\boldsymbol{r})=\psi(\vec{r-\lambda})$$ 由上式根据定义，生成元满足（就不分三分量处理了，统一用矢量符号代替） $$\hat{I}\psi(\vec{r})=\lim_{\vec{\lambda}\to0}\frac{1}{i\vec{\lambda}}[\psi(\vec{r-\lambda})-\psi(\vec{r})]=i\nabla\psi(\vec{r})$$ 可得该群生成元为 $$\hat{I}=i\nabla=-\hbar\hat{\vec{P}}$$ 由此，群元素的一般表达式为 $$\hat{D}(\vec{\lambda})=\exp[-i\hbar\hat{\vec{P}}\cdot\vec{\lambda}]$$

空间反演群

在位形空间中把对矢量进行操作$\vec{r'}=P\vec{r}=-\vec{r}$的算符$P$称为空间反演算符，有时候也用$J$表示。简便起见，也把函数空间和抽象希尔伯特空间对应的变换算符也记为$P$，其作用如下：$\hat{P}\psi(\vec{r})=\psi(-\vec{r})$以及$P\ket{\vec{r}}=\ket{-r}$，由上式可得$P^2=1$，所以设其本征矢量为$\ket{\psi}$，则有$\ket{\psi}=P^2\ket{\psi}=p^2\ket{\psi}$从而本征值取$\pm1$，分别对应偶宇称和奇宇称。不是其本征态的叫做无确切宇称。

空间转动

前一个总结说了位形空间的转动群$SO(3)$的定义和表示，并类比$SO(2)$群推广得到了它的生成元，这里重新推导一次。
对于无限小转动算符，其作用是$Q(\vec{n},d\varphi)\vec{r}=\vec{r}+d\varphi\vec{n}\times\vec{r}$，也把$\hat{D}(Q(\vec{n},\varphi))$直接记为$\hat{D}(\vec{n},\varphi)$则对于函数有

$$\begin{align}\hat{D}(\vec{n},d\varphi)\psi(\vec{r})&=\psi(\vec{r}-d\varphi\vec{n}\times\vec{r})\\&= \psi(\vec{r})-d\varphi\vec{n}\times\vec{r}\cdot\nabla\psi(\vec{r})\\&=(1-id\varphi \vec{n}\times\hat{\vec{R}}\cdot\hat{\vec{P}}/\hbar)\psi(\vec{r})\end{align}$$ 从而 $$\hat{D}(\vec{n},d\varphi)=1-\frac{i}{\hbar}d\varphi\vec{n}\cdot\vec{L}$$
对于有限转动，分解为无穷多无穷小转动的乘积 $$\hat{D}(\vec{n},\varphi)=\lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{i}{\hbar}\frac{\varphi}{m}\vec{n}\cdot\vec{L}\right)^m=\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\varphi\vec{n}\cdot\vec{L}\right]$$

算符的分类

算符分为两类：标量算符满足在空间转动下保持不变；矢量算符在空间转动下发生变化，变化就好三维位形空间中矢量的变化一般。
具体来说就是标量算符满足

$$D(\vec{n},\varphi)SD^{-1}(\vec{n},\varphi)=S$$ 矢量算符满足 $$D(\vec{n},\varphi)\vec{V}D^{-1}(\vec{n},\varphi)=Q^{-1}(\vec{n},\varphi)\vec{V}$$ 矢量算符再按在空间反演变换下变不变号而分为真矢量和轴矢量（赝矢量）。

可见量子力学中，矢量算符的定义要借助于空间转动，又因为角动量算符是空间转动群的生成元，所以矢量算符的定义和角动量算符关系密切。甚至可以证明得出对于任何矢量算符$\vec{V}$，都有$[L_i,V_j]=\sum_k\varepsilon_{ijk}i\hbar V_k$. 从另一方面也反映出角动量算符根本上完全是一个数学概念——转动群的生成元。

对称性和守恒率

不像一个三维形状，不变性是指它在某个变换下不变，对一个量子态$\ket{\psi}$而言，其不变性是指它的演化规律不变。量子态总按照薛定谔方程演化

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\ket{\psi(t)}=H\ket{\psi(t)}$$ 为求得在施加变换 $Q$以后的演化规律，给上面方程从左边乘以 $D(Q)$有 $$i\hbar\frac{\partial}{\partial t} D({Q})\ket{\psi(t)}=D({Q})HD^{-1}({Q})D({Q})\ket{\psi(t)}$$ 把 $D(Q)\ket{\psi(t)}$记为新状态 $\ket{\psi'(t)}$则方程变为 $$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\ket{\psi'(t)}=H'\ket{\psi'(t)}$$ 其中 $H'=D(Q)HD^{-1}(Q)$对比原始的薛定谔方程，如果要求演化规律不变，则必然有 $$H=D(Q)HD^{-1}(Q)\Leftrightarrow[H,D(Q)]=0$$ 即系统的哈密顿在变换下保持不变，或者哈密顿和变换算符对易。 这就是系统在某变换$Q$下保持不变的数学表达式。

如果哈密顿存在某个对称性群$\{Q\}$则群里每个元素都和$H$对易。
如果系统哈密顿不显含时间，则可以研究守恒量，其定义为：海森伯绘景下，物理量算符$A^H(t)$不显含时间，则物理量$A$守恒。

如果$[H,A]=0$则

$$A^H(t)=\exp[\frac{i}{\hbar}tH]A\exp[-\frac{i}{\hbar}tH]=A$$ 显然满足守恒的条件。所以如果一个算符与 $H$对易，则该物理量是守恒量。

对于平移群，如果哈密顿在平移变换下不变，即$[H,\exp(-i\hbar\vec{P}\cdot\vec{\lambda})]=0$对任意矢量$\vec{\lambda}$成立，这就是说动量守恒：

$$[H,\vec{P}]=0$$

对于空间旋转群，如果哈密顿在旋转下保持不变，则类似地有$[H,\vec{L}]=0$，即$\vec{L}$是守恒量。

微扰简并的群论解释

使得系统哈密顿$H$保持不变的所有空间变换的集合构成一个群$\{Q\}$称之为系统对称性群。按照上面的分析，对称性群的每个元素都和哈密顿对易$[D(Q),H]=0$.

设$E_n$为哈密顿本征值，设$\ket{\psi_{i}^{(n)}}$为哈密顿本征态满足$H\ket{\psi_{i}^{(n)}}=E_n\ket{\psi_{i}^{(n)}}$其中$i=1,2,\cdots,d_n$而$d_n$为第$n$能级的简并度。由于算符群元素$D(Q)$与$H$对易，所以

$$HD(Q)\ket{\psi_{i}^{(n)}}=D(Q)H\ket{\psi_{i}^{(n)}}=E_nD(Q)\ket{\psi_{i}^{(n)}}$$ 上式表明态矢量 $D(Q)\ket{\psi_{i}^{(n)}}$也是 $H$的本征态，且属于本征值 $E_n$，所以它还处于第 $n$个简并子空间之中。于是算符 $D(Q)$对其的作用可以写成

$$D(Q)\ket{\psi_{i}^{(n)}}=\sum_j\ket{\psi_{j}^{(n)}}D_{ji}(Q)$$ 上式表明态矢量 $\{\ket{\psi_{i}^{(n)}}\}$可以生成哈密顿对称性群 $\{Q\}$的一个 $d_n$维表示，选取其中的 $d_n$个正交的态矢量出来作为基矢，生成的表示就是幺正的。

这里有一个问题：某$E_n$的本征子空间所生成的表示，可约不可约？有一个结论：只要对称性群找全了，属于一个本征值的本征矢量所生成的表示就是对称性群$\{Q\}$的不可约表示。这个结论无法给出一般性的证明。

总结一下，对$H$的诸本征矢量重新排序，把同属于一个简并子空间的本征矢量聚在一起，$H$在自己的表象下，矩阵元为⟨ψ(m)i|Hψ(n)j⟩=