题解 P8757 [蓝桥杯 2021 省 A2] 完美序列

这篇博客探讨了蓝桥杯2021省赛A2题目的完美序列问题。作者指出,完美子序列中,质因数最多的数字(如2的幂次)能够形成最长的序列。通过计算k=⌊log2(n)⌋,可以确定最大完美长度为k+1。文章详细分析了构造长度为k+1的完美子序列的两种情况,并给出了求解序列和的公式。博客重点在于理解和求解完美序列的策略,而非计算方案数。

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题解 P8757

感觉难度应该就绿,在学校五分钟想出来了。


首先考虑完美长度是多少,显然对于一个完美子序列,第一个元素的质因数越多,它往后能延伸的完美子序列最长。而什么样的数质因数最多呢?2k2^k2k

所以我们算出 k=⌊log⁡2(n)⌋k=\lfloor\log_2(n)\rfloork=log2(n)⌋k+1k+1k+1 即为 nnn 阶最大完美长度。

然后再来考虑怎么构造出长度为 k+1k+1k+1 的完美子序列,显然有:

2k2k−1...421 \begin{matrix} 2^{k}&2^{k-1}&...&4&2&1 \end{matrix} 2k2k1...4

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