OI模板 分数规划

分数规划

分数规划用来求一个分式的极值：给出 $a_i,b_i$，求一组 w i ∈ { 0 , 1 } w_i\in\{0,1\} wi​∈{ 0,1} 使 $\frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_i{w}_i}{{\sum }_{i=1}^n{b}_i{w}_i}$ 最小化或最大化，再加上一些奇怪的限制。

所以背包、树形背包、最小生成树、最短路、二分图最大匹配等问题都可以套个分数规划变得毒瘤。

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求解

二分求解

最大值：二分一个答案 $mid$，则：
∑ i = 1 n a i w i ∑ i = 1 n b i w i > m i d    ⟹    ∑ i = 1 n a i w i − m i d × ∑ i = 1 n b i w i > 0    ⟹    ∑ i = 1 n w i ( a i − m i d × b i ) > 0 \displaystyle\frac{\sum_{i=1}^n a_iw_i}{\sum_{i=1}^n b_iw_i}>mid \\ \implies\sum_{i=1}^n a_iw_i - mid \times\sum_{i=1}^n b_iw_i>0 \\ \implies\sum_{i=1}^nw_i(a_i-mid \times b_i) > 0 ∑i=1n​bi​wi​∑i=1n​ai​wi​​>mid⟹i=1∑n​ai​wi​−mid×i=1∑n​bi​w