OI模板分数规划

最新推荐文章于 2025-12-16 14:17:05 发布

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最新推荐文章于 2025-12-16 14:17:05 发布 · 291 阅读

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#算法

本文详细介绍了分数规划问题，包括如何通过二分法求解最大值和最小值，并给出了若干例题，如Luogu P4377、[HNOI2009]最小圈和[JSOI2016]最佳团体等，涉及到背包、最小生成树、最短路等算法的应用。

分数规划

分数规划用来求一个分式的极值：给出 $a_i,b_i$ ，求一组 $0,1}w_i\in\{0,1\}$ 使 $∑i=1naiwi∑i=1nbiwi\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^n a_iw_i}{\sum_{i=1}^n b_iw_i}$ 最小化或最大化，再加上一些奇怪的限制。

所以背包、树形背包、最小生成树、最短路、二分图最大匹配等问题都可以套个分数规划变得毒瘤。

求解

二分求解

最大值：二分一个答案 $m i d$ ，则：
$\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^n a_iw_i}{\sum_{i=1}^n b_iw_i}>mid \\ \implies\sum_{i=1}^n a_iw_i - mid \times\sum_{i=1}^n b_iw_i>0 \\ \implies\sum_{i=1}^nw_i(a_i-mid \times b_i) > 0$