题解 [LuoguP5905]【模板】Johnson 全源最短路

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以此纪念我学会该算法。

Johnson 全源最短路

Johnson 全源最短路可以用来求有负权的图的全源最短路。

步骤

1. 新建一个虚拟 $0$ 号节点。

2. 在节点 $0$ 至节点 $i(i\in [1,n])$ 中插入一条权值为 $0$ 的有向边。

3. 使用 Bellman-ford 算法（SPFA 也可）计算节点 $0$ 到其它节点的最短路径（顺便判断负环），记为 $H_i$。

4. 将原图每条边的权值 $w_{u,v}$ 改为 $w_{u,v}+H_u-H_v$。

5. 跑 $n$ 轮 Dijkstra 算法，求出全源最短路。

复杂度：$O(1)+O(n)+O(nm)+O(m)+n\ast O((n+m)\log n)=O(nm\log n)$

证明

如何证明 $w_{u,v}+H_u-H_v$