HDU-4497 GCD and LCM （数学）

最新推荐文章于 2019-08-13 23:26:00 发布

满赋诸机

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本博客探讨了在给定最大公约数和最小公倍数的情况下，寻找符合条件的三元组组合数量的方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

GCD and LCM

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4497

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65535/65535 K (Java/Others)

Problem Description

Given two positive integers G and L, could you tell me how many solutions of (x, y, z) there are, satisfying that gcd(x, y, z) = G and lcm(x, y, z) = L?
Note, gcd(x, y, z) means the greatest common divisor of x, y and z, while lcm(x, y, z) means the least common multiple of x, y and z.
Note 2, (1, 2, 3) and (1, 3, 2) are two different solutions.

Input

First line comes an integer T (T <= 12), telling the number of test cases.
The next T lines, each contains two positive 32-bit signed integers, G and L.
It’s guaranteed that each answer will fit in a 32-bit signed integer.

Output

For each test case, print one line with the number of solutions satisfying the conditions above.

Sample Input

Sample Output

  
   72 
0

题目大意：给定三个数的最大公约数和最小公倍数，求这三个数的所有组合个数？

只知道应该将l/g分解成素数的次方之积（后来才知道是整数唯一分解定理），但是不知道如何给这三个数分配各素数

看了题解才明白，要学会分析

由于x,y,z均含有因子g，所以只用讨论x/g,y/g,z/g这三个数的取值即可

设l/g中某一素数p的指数为cnt，则只有满足这三个数中至少有一个数的p的指数为cnt（否则最小公倍数不是l），至少有一个数的p的指数为0（否则最大公约数不是1）

共三种情况：①一个数的p的指数为cnt，一个数的p的指数为0，另一个数的p的指数取1~cnt-1，方案数为：C(3,1)*C(2,1)*(cnt-1)

②两个数的p的指数为cnt，一个数的p的指数为0，方案数为：C(3,1)

③一个数的p的指数为cnt，两个个数的p的指数为0，方案数为：C(3,1)

则一个指数为cnt的素数p能产生的方案数为：6*cnt

注意：如果存在素数大于10^5，则必定只有一个，且其指数为1

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MAXN=100005;

int n,m,g,l,cnt,ans;
int prime[MAXN+4];

void getPrime() {
    memset(prime,0,sizeof(prime));
    for(int i=2,lim;i<=MAXN;++i) {
        if(prime[i]==0) {
            prime[++prime[0]]=i;
        }
        lim=MAXN/i;
        for(int j=1;j<=prime[0]&&prime[j]<=lim;++j) {
            prime[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0) {
                break;
            }
        }
    }
}

int main(){
    int T;
    getPrime();
    scanf("%d",&T);
    while(T-->0) {
        scanf("%d%d",&g,&l);
        if(l%g!=0) {
            printf("0\n");
        }
        else {
            ans=1;
            l/=g;
            for(int i=1;i<=prime[0];++i) {
                if(l%prime[i]==0) {
                    cnt=0;
                    while(l%prime[i]==0) {//统计素数的指数
                        ++cnt;
                        l/=prime[i];
                    }
                    ans*=6*cnt;
                }
            }
            if(l>1) {//如果存在素数大于10^5，则必定只有一个，且其指数为1
                ans*=6;
            }
            printf("%d\n",ans);
        }
    }
	return 0;
}