USACO-Section 2.2 Preface Numbering （数学）

最新推荐文章于 2018-07-17 22:20:06 发布

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本文介绍了一种计算从第1页到第N页罗马数字页码中各字符出现次数的方法。通过对不同数值等级的组合规则进行分析，文章提供了一个C++实现方案，详细解释了如何避免非法组合并正确统计每个罗马数字字符的使用频率。

描述

一类书的序言是以罗马数字标页码的。传统罗马数字用单个字母表示特定的数值，以下是标准数字表:

I 1  L 50  M 1000
V 5  C 100
X 10 D 500

最多3个同样的可以表示为10ⁿ的数字(I,X,C,M)可以连续放在一起，表示它们的和:

III=3
CCC=300

可表示为5x10ⁿ的字符(V,L,D)从不连续出现。

除了下一个规则，一般来说，字符以递减的顺序接连出现:

CCLXVIII = 100+100+50+10+5+1+1+1 = 268

有时，一个可表示为10ⁿ的数出现在一个比它大1级或2级的数前(I在V或X前面，X在L或C前面，等等)。在这种情况下，数值等于后面的那个数减去前面的那个数:

IV = 4
IX = 9
XL = 40

This compound mark forms a unit and may not be combined to make another compound mark (e.g., IXL is wrong for 39; XXXIX is correct).

像XD, IC, 和XM这样的表达是非法的，因为前面的数比后面的数小太多。对于XD(490的错误表达)，可以写成 CDXC; 对于IC(99的错误表达)，可以写成XCIX; 对于XM(990的错误表达)，可以写成CMXC。 90 is expressed XC and not LXL, since L followed by X connotes that successive marks are X or smaller (probably, anyway).

给定N(1 <= N < 3,500)，序言的页码数，请统计在第1页到第N页中，有几个I出现，几个V出现，等等 (从小到大的顺序)。不要输出并没有出现过的字符。

比如N = 5, 那么页码数为: I, II, III, IV, V. 总共有7个I出现，2个V出现。

格式

PROGRAM NAME: preface

INPUT FORMAT:

(preface.in)

一个整数N。

OUTPUT FORMAT:

(preface.out)

每行一个字符和一个数字k，表示这个字符出现了k次。字符必须按数字表中的递增顺序输出。

SAMPLE INPUT

SAMPLE OUTPUT

I 7
V 2

这么简单一道题都不能快速做出来，卡了好久，明明有枚举的方法还非要用数学方法。。。

也可能是开始算法对了，但是忘记处理下标越界和为负数的情况，导致结果一直不对。。。

/*
ID: your_id_here 
PROG: preface
LANG: C++
*/
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int nn[3][10]={0,1,2,3,1,0,1,2,3,1,
                     0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,
                     0,0,0,0,0,0,0,0,0,1};
const int nm[3][10]={0,1,3,6,7,7,8,10,13,14,
                     0,0,0,0,1,2,3,4,5,5,
                     0,0,0,0,0,0,0,0,0,1};
int n,num[11],t,t1,t2,tt,tp;//num数组开小了，又是本地对，OJ错...
char ch[8]="IVXLCDM";

int main() {
    int i;
    freopen("preface.in","r",stdin);
    freopen("preface.out","w",stdout);
    while(1==scanf("%d",&n)) {
        for(i=0;i<8;++i)
            num[i]=0;
        i=0,tp=1,tt=1,t=n;
        while(t) {
            t1=t/10;
            tt=t%10-1;
            if(tt==-1)//可能存在数组越界的问题，所以tt为-1时将其赋为0
                tt=0;
            //每次计算的时候分为三部分：假设目前数字为abc
            //Ⅰ：当前看个位
            //①ab(即c前面的数字)个0~9完整出现过 ②1个0~c-1完整出现过 ③n%tp+1(即c后面的数字+1=0+1)个c出现过
            //Ⅱ：当前看十位
            //①a(即b前面的数字)个0~9完整出现过 ②1个0~b-1完整出现过 ③n%tp+1(即b后面的数字+1=b+1)个b出现过
            //Ⅲ：当前看百位
            //①0(即a前面的数字)个0~9完整出现过 ②1个0~a-1完整出现过 ③n%tp+1(即b后面的数字+1=a+1)个a出现过
            num[i]+=t1*nm[0][9]*tp+nm[0][tt]*tp+(n%tp+1)*nn[0][t%10];
            num[i+1]+=t1*nm[1][9]*tp+nm[1][tt]*tp+(n%tp+1)*nn[1][t%10];
            num[i+2]+=t1*nm[2][9]*tp+nm[2][tt]*tp+(n%tp+1)*nn[2][t%10];
            t=t1;
            i+=2;
            tp*=10;
        }
        i=0;
        while(num[i]) {
            printf("%c %d\n",ch[i],num[i]);
            ++i;
        }
    }
    return 0;
}