树,森林,二叉树的互相转换

本文介绍了树和森林转换为二叉树的方法,包括将树转换为二叉树的具体步骤,以及将森林转换为二叉树的过程。同时,还探讨了如何将二叉树还原为树或森林,并通过实例说明了不同节点间可能存在的关系。

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 1.树、森林到二叉树的转换

(1)将树转换为二叉树
     树中每个结点最多只有一个最左边的孩子(长子)和一个右邻的兄弟。按照这种关系很自然地就能将树转换成相应的二叉树:
  ①在所有兄弟结点之间加一连线;
  ②对每个结点,除了保留与其长子的连线外,去掉该结点与其它孩子的连线。

【例】下面(a)图所示的树可转换为(c)图所示的二叉树。

aa

注意:
     由于树根没有兄弟,故树转化为二叉树后,二叉树的根结点的右子树必为空。

2)将一个森林转换为二叉树
 具体方法是:
  ① 将森林中的每棵树变为二叉树
  ② 因为转换所得的二叉树的根结点的右子树均为空,故可将各二叉树的根结点视为兄弟从左至右连在一起,就形成了一棵二叉树。
【例】下图中,左边包含三棵树的森林可转换为右边的二叉树。

aa

2.二叉树到树、森林的转换
     把二叉树转换到树和森林自然的方式是:若结点x是双亲y的左孩子,则把x的右孩子,右孩子的右孩子,…,都与y用连线连起来,最后去掉所有双亲到右孩子的连线。
【例】下图的森林就是由例2中二叉树转换成的。 

aa

 截图一的题中题设为:将森林转换为对应的的二叉树,在二叉树中,结点u是结点v的父结点的父结点,则在原来的森林中,u和v可能具有的关系:Ⅰ父子关系:成立;以图为例:

aa

Ⅱ兄弟关系:成立;以图为例:

aa

Ⅲu的父结点与v的父结点是兄弟关系:不成立;理由如下:

①将森林转换为二叉树第一步是将每棵树转变为二叉树:则第一步是在所有兄弟结点之间加一连线,第二步对每个结点,除保留与长子的连线,去掉该结点与其它孩子的连线;则若u父亲与v父亲是兄弟关系,必连线成为父子,由此u至多为v的父亲的兄弟;

②由上一步知道转换所得的二叉树的根结点的右子树均空,将各二叉树根结点视为兄弟从左至右连一起,在此有个疑问,视为兄弟,但其实没关系的吧。即使u和v都是长子,关系仍旧如①;

③反着来,已知在二叉树中u是v的父结点的父结点,根据森林演化成为二叉树的条件和性质,u和v的关系可以是父子、兄弟,但无法成为u的父亲与v的父亲是兄弟的尴尬关系。


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