陀螺噪声模型
陀螺测量模型:
(1)
x
m
(
t
)
=
x
(
t
)
+
b
(
t
)
+
n
(
t
)
x_m(t) = x(t)+b(t)+n(t) \tag{1}
xm(t)=x(t)+b(t)+n(t)(1)
x m x_{\rm m} xm为测量输出, x x x为真值, b b b为零偏, n n n为速率噪声,假设为高斯白噪声。
白噪声(White Noise)
假设测量模型中的
n
(
t
)
n(t)
n(t) 为零均值高斯白噪声,其均值(mean)为零:
E
[
n
(
t
)
]
=
0
E[n(t)]=0
E[n(t)]=0
其自相关函数为Delta函数,即白噪声在不同时刻的值统计无关:
E
[
n
(
t
1
)
n
(
t
2
)
]
=
σ
2
δ
(
t
1
−
t
2
)
E[n(t_1)n(t_2)]=\sigma^2\delta(t_1-t_2)
E[n(t1)n(t2)]=σ2δ(t1−t2)
自相关函数的数学定义: R ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) x ( t − τ ) d t R(\tau)= \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t-\tau) \rm{d} t R(τ)=∫−∞∞x(t)x(t−τ)dt。
离散形式:
n
[
k
]
=
1
Δ
T
∫
t
0
t
0
+
Δ
T
n
(
t
)
d
t
n
[
k
]
∼
N
(
0
,
σ
d
2
)
σ
d
=
σ
1
Δ
T
n[k]=\frac {1}{\Delta T} \int_{t_0}^{t_0+\Delta T} n(t) \mathrm{d}t \\ n[k]\sim N(0,\sigma_\mathrm{d}^2)\\ \sigma _\mathrm{d}=\sigma\frac{1}{\sqrt{\Delta T}}
n[k]=ΔT1∫t0t0+ΔTn(t)dtn[k]∼N(0,σd2)σd=σΔT1
其中 Δ T \Delta T ΔT是采样时间(即平均时间)。这里假设理想低通滤波器的带宽为 f = 1 Δ T f=\frac {1}{\Delta T} f=ΔT1。根据采样定理,这个频率应该是2倍于感兴趣的信号最高频率,即有用信号最高频率不能超过 f = 1 2 Δ T f=\frac {1}{2\Delta T} f=2ΔT1,高于这个频率的信号和噪声全部被滤除。以角速率陀螺的测量输出为例, σ d \sigma_d σd的单位为 ° / h \degree/h °/h, Δ T \Delta{T} ΔT的单位是 h h h,所以 σ \sigma σ的单位为 ° / h \degree/\sqrt h °/h。
离散过程是求采样周期
Δ
T
\Delta T
ΔT内的平均输出:
n
[
k
]
=
1
Δ
T
∫
t
0
t
0
+
Δ
T
n
(
t
)
d
t
n[k]=\frac {1}{\Delta T} \int_{t_0}^{t_0+\Delta T} n(t) \mathrm{d}t\\
n[k]=ΔT1∫t0t0+ΔTn(t)dt
其均值为
E
(
n
[
k
]
)
=
1
Δ
T
∫
t
0
t
0
+
Δ
T
E
[
n
(
t
)
]
d
t
=
0
\begin{aligned} E(n[k])&=\frac {1}{\Delta T} \int_{t_0}^{t_0+\Delta T} E[n(t)] \mathrm{d}t\\ &=0 \end{aligned}
E(n[k])=ΔT1∫t0t0+ΔTE[n(t)]dt=0
其方差为
σ
d
2
=
E
(
(
n
[
k
]
)
2
)
=
E
(
(
1
(
Δ
T
)
2
∫
t
0
t
0
+
Δ
T
∫
t
0
t
0
+
Δ
T
n
(
τ
)
n
(
t
)
d
τ
d
t
)
=
1
(
Δ
T
)
2
∫
t
0
t
0
+
Δ
T
∫
t
0
t
0
+
Δ
T
E
[
n
(
τ
)
n
(
t
)
]
d
τ
d
t
=
σ
2
(
Δ
T
)
2
∫
t
0
t
0
+
Δ
T
∫
t
0
t
0
+
Δ
T
δ
(
t
−
τ
)
d
t
d
τ
=
σ
2
(
Δ
T
)
2
∫
t
0
t
0
+
Δ
T
1
d
t
=
σ
2
Δ
T
\begin{aligned} \sigma_d^2&=E\left((n[k])^2\right) \\ &=E \left( (\frac {1}{(\Delta T)^2} \int_{t_0}^{t_0+\Delta T} \int_{t_0}^{t_0+\Delta T} n(\tau) n(t) \mathrm{d}\tau \mathrm{d}t \right) \\ &=\frac {1}{(\Delta T)^2} \int_{t_0}^{t_0+\Delta T} \int_{t_0}^{t_0+\Delta T} E[n(\tau) n(t)] \mathrm{d}\tau \mathrm{d}t \\ &=\frac {\sigma^2}{(\Delta T)^2} \int_{t_0}^{t_0+\Delta T} \int_{t_0}^{t_0+\Delta T} \delta(t - \tau) \mathrm{d}t \mathrm{d}\tau \\ &=\frac{\sigma^2}{(\Delta T)^2} \int_{t_0}^{t_0+\Delta T} 1 \mathrm{d}t \\ &=\frac{\sigma^2}{\Delta T} \end{aligned}
σd2=E((n[k])2)=E(((ΔT)21∫t0t0+ΔT∫t0t0+ΔTn(τ)n(t)dτdt)=(ΔT)21∫t0t0+ΔT∫t0t0+ΔTE[n(τ)n(t)]dτdt=(ΔT)2σ2∫t0t0+ΔT∫t0t0+ΔTδ(t−τ)dtdτ=(ΔT)2σ2∫t0t0+ΔT1dt=ΔTσ2
可见平均时间越长,采样信号的方差越小,这与直觉一致。
其中
∫
t
0
t
0
+
Δ
T
δ
(
t
−
τ
)
d
t
=
∫
t
0
−
τ
t
0
−
τ
+
Δ
T
δ
(
m
)
d
m
=
1
\begin{aligned} \int_{t_0}^{t_0+\Delta T} \delta (t - \tau) \mathrm{d}t &= \int_{t_0-\tau}^{t_0-\tau+\Delta T} \delta (m) \mathrm{d}m =1 \end{aligned}
∫t0t0+ΔTδ(t−τ)dt=∫t0−τt0−τ+ΔTδ(m)dm=1
由于 τ ∈ [ t 0 , t 0 + Δ T ] \tau \in [t_0,t_0+\Delta T] τ∈[t0,t0+ΔT],所以上面的积分范围为 − Δ T ≤ t 0 − τ ≤ 0 -\Delta T\leq t_0-\tau \leq0 −ΔT≤t0−τ≤0,而 0 ≤ t 0 − τ + Δ T ≤ Δ T 0 \leq t_0-\tau+\Delta T \leq \Delta T 0≤t0−τ+ΔT≤ΔT,所以上式=1。
零偏(Bias)
传感器测量误差中的缓变部分建模为“布朗运动(Brownian motion)”,也称为“维纳过程(Wiener process)”,或“随机游走(random walk)”(离散域中)。
b
˙
(
t
)
=
w
(
t
)
w
(
t
)
∼
N
(
0
,
σ
b
)
E
[
w
(
t
1
)
w
(
t
2
)
]
=
σ
b
2
δ
(
t
1
−
t
2
)
\dot{b}(t)=w (t)\\ w(t)\sim N(0,\sigma_b)\\ E[w(t_1)w(t_2)]=\sigma_b^2\delta(t_1-t_2)
b˙(t)=w(t)w(t)∼N(0,σb)E[w(t1)w(t2)]=σb2δ(t1−t2)
其中
ω
(
t
)
\omega(t)
ω(t)为零均值高斯白噪声。离散形式:
b
d
[
k
]
=
b
d
[
k
−
1
]
+
w
d
[
k
]
w
d
[
k
]
∼
N
(
0
,
σ
b
Δ
T
)
b_d[k]=b_d[k-1]+w_d [k]\\ w_d[k]\sim N(0,\sigma_b \sqrt{\Delta T})
bd[k]=bd[k−1]+wd[k]wd[k]∼N(0,σbΔT)
即:
σ
b
d
=
σ
b
Δ
T
\sigma _{bd}=\sigma_b \sqrt{\Delta T}
σbd=σbΔT
离散过程:
∫
t
0
t
0
+
Δ
T
b
˙
(
t
)
d
t
=
∫
t
0
t
0
+
Δ
T
w
(
t
)
d
t
b
(
t
0
+
Δ
T
)
−
b
(
t
0
)
=
∫
t
0
t
0
+
Δ
T
w
(
t
)
d
t
b
d
[
k
]
−
b
d
[
k
−
1
]
=
∫
t
0
t
0
+
Δ
T
w
(
t
)
d
t
\begin{aligned} \int_{t_0}^{t_0+\Delta T} \dot b(t) dt &= \int_{t_0}^{t_0+\Delta T} w(t) \mathrm{d}t \\ b(t_0+\Delta T) - b(t_0) &= \int_{t_0}^{t_0+\Delta T} \ w(t) \mathrm{d}t\\ b_d[k]-b_d[k-1] &=\int_{t_0}^{t_0+\Delta T} w(t) \mathrm{d}t \end{aligned}
∫t0t0+ΔTb˙(t)dtb(t0+ΔT)−b(t0)bd[k]−bd[k−1]=∫t0t0+ΔTw(t)dt=∫t0t0+ΔT w(t)dt=∫t0t0+ΔTw(t)dt
即
w
[
k
]
=
∫
t
0
t
0
+
Δ
T
w
(
t
)
d
t
w[k]=\int_{t_0}^{t_0+\Delta T} w(t) \mathrm{d}t
w[k]=∫t0t0+ΔTw(t)dt
离散白噪声均值:
E
(
w
[
k
]
)
=
E
(
∫
t
0
t
0
+
Δ
T
w
(
t
)
d
t
)
=
∫
t
0
t
0
+
Δ
T
E
[
w
(
t
)
]
d
t
=
0
\begin{aligned} E\left (w[k]\right ) &= E \left(\int_{t_0}^{t_0+\Delta T} w(t) \mathrm{d}t \right) \\ &=\int_{t_0}^{t_0+\Delta T} E[w(t)] \mathrm{d}t\\ &=0 \end{aligned}
E(w[k])=E(∫t0t0+ΔTw(t)dt)=∫t0t0+ΔTE[w(t)]dt=0
方差:
σ
b
d
2
=
E
(
(
w
[
k
]
)
2
)
=
E
(
(
∫
t
0
t
0
+
Δ
T
w
(
t
)
d
t
)
2
)
=
E
(
∫
t
0
t
0
+
Δ
T
∫
t
0
t
0
+
Δ
T
w
(
τ
)
w
(
t
)
d
τ
d
t
)
=
∫
t
0
t
0
+
Δ
T
∫
t
0
t
0
+
Δ
T
E
[
w
(
τ
)
w
(
t
)
d
τ
d
t
=
σ
b
2
∫
t
0
t
0
+
Δ
T
∫
t
0
t
0
+
Δ
T
δ
(
t
−
τ
)
d
τ
d
t
=
σ
b
2
Δ
T
\begin{aligned} \sigma_{bd}^2 &=E\left( (w[k])^2 \right)\\ &=E\left( \left( \int_{t_0}^{t_0+\Delta T} w(t) \mathrm{d}t \right)^2 \right)\\ &=E \left( \int_{t_0}^{t_0+\Delta T} \int_{t_0}^{t_0+\Delta T} w(\tau) w(t) \mathrm{d}\tau \mathrm{d}t \right) \\ &=\int_{t_0}^{t_0+\Delta T} \int_{t_0}^{t_0+\Delta T} E[w(\tau)w(t) \mathrm{d}\tau \mathrm{d}t \\ &=\sigma _b^2\int_{t_0}^{t_0+\Delta T} \int_{t_0}^{t_0+\Delta T} \delta (t-\tau) \mathrm{d}\tau \mathrm{d}t \\ &=\sigma _b^2 \Delta T \end{aligned}
σbd2=E((w[k])2)=E⎝⎛(∫t0t0+ΔTw(t)dt)2⎠⎞=E(∫t0t0+ΔT∫t0t0+ΔTw(τ)w(t)dτdt)=∫t0t0+ΔT∫t0t0+ΔTE[w(τ)w(t)dτdt=σb2∫t0t0+ΔT∫t0t0+ΔTδ(t−τ)dτdt=σb2ΔT
标准差:
σ
b
d
=
σ
b
Δ
T
\sigma_{bd}=\sigma _b \sqrt {\Delta T}
σbd=σbΔT
σ b d \sigma_{bd} σbd的单位是 d e g deg deg, Δ T \Delta{T} ΔT的单位为 h h h,所以 σ b \sigma_b σb的单位是 ° / h \degree/\sqrt{h} °/h。
表1:IMU噪声模型参数总结
参数 | 符号 | 单位 |
---|---|---|
陀螺噪声谱密度 | σ g \sigma_g σg | r a d s 1 H z \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}} \frac{1}{\sqrt{\mathrm{Hz}}} sradHz1 |
加计噪声谱密度 | σ a \sigma_a σa | m s 2 1 H z \frac{m}{s^2} \frac{1}{\sqrt{Hz}} s2mHz1 |
陀螺随机游走 | σ b g \sigma_{bg} σbg | r a d s 2 1 H z \frac{rad}{s^2} \frac{1}{\sqrt{Hz}} s2radHz1 |
加计随机游走 | σ b a \sigma_{ba} σba | m s 3 1 H z \frac{m}{s^3} \frac{1}{\sqrt{Hz}} s3mHz1 |
IMU采样速率 | 1 Δ T \frac{1}{\Delta T} ΔT1 | H z Hz Hz |
白噪声的累积,随机游走,随机游走系数
随机游走(Random Walk)定义为白噪声的时间积分:
θ
(
t
)
=
∫
0
t
n
(
τ
)
d
τ
\begin{aligned} \theta(t) &= \int_{0}^{t} n(\tau) \mathrm{d}\tau \end{aligned}
θ(t)=∫0tn(τ)dτ
均值:
E
(
θ
)
=
E
(
∫
0
t
n
(
τ
)
d
τ
)
=
∫
0
t
E
(
n
(
τ
)
)
d
τ
=
0
\begin{aligned} E\left (\theta\right ) &= E \left (\int_{0}^{t} n(\tau) \mathrm{d}\tau \right) \\ &=\int_{0}^{t} E(n(\tau)) \mathrm{d}\tau \\ &=0 \end{aligned}
E(θ)=E(∫0tn(τ)dτ)=∫0tE(n(τ))dτ=0
方差:
σ
θ
2
(
t
)
=
E
(
(
∫
0
t
n
(
τ
)
d
τ
)
2
)
=
E
(
∫
0
t
∫
0
t
n
(
τ
1
)
n
(
τ
2
)
d
τ
1
d
τ
2
)
=
∫
0
t
∫
0
t
E
(
n
(
τ
1
)
n
(
τ
2
)
)
d
τ
1
d
τ
2
=
σ
2
∫
0
t
∫
0
t
δ
(
τ
1
−
τ
2
)
d
τ
1
d
τ
2
=
σ
2
t
\begin{aligned} \sigma_\theta^2(t) &=E\left( \left( \int_{0}^{t} n(\tau) \mathrm{d}\tau \right)^2 \right)\\ &=E \left( \int_{0}^{t} \int_{0}^{t} n(\tau_1) n(\tau_2) d\tau_1 \mathrm{d}\tau_2 \right) \\ &=\int_{0}^{t} \int_{0}^{t} E(n(\tau_1)n(\tau_2)) \mathrm{d}\tau_1 \mathrm{d}\tau_2 \\ &=\sigma ^2\int_{0}^{t} \int_{0}^{t} \delta (\tau_1-\tau_2) \mathrm{d}\tau_1 \mathrm{d}\tau_2\\ &=\sigma ^2 t \end{aligned}
σθ2(t)=E((∫0tn(τ)dτ)2)=E(∫0t∫0tn(τ1)n(τ2)dτ1dτ2)=∫0t∫0tE(n(τ1)n(τ2))dτ1dτ2=σ2∫0t∫0tδ(τ1−τ2)dτ1dτ2=σ2t
σ
2
\sigma^2
σ2具有速率的量纲。
标准差:
σ
θ
(
t
)
=
σ
t
\sigma_\theta(t)=\sigma \sqrt {t}
σθ(t)=σt
以上结果说明,随机游走的均值为0,而其方差和标准差是积分时间的函数,方差与积分时间成正比,标准差与积分时间的方根成正比。由于 σ θ \sigma_\theta σθ的单位为 d e g deg deg, t t t的单位为 h h h,所以上式中 σ \sigma σ的单位为 ° / h \degree/\sqrt h °/h。 σ \sigma σ也称为随机游走系数(RWC, Random Walk Coefficient),是一个新定义的量,它在数值上与白噪声的标准差相同,但有不同的含义。随机游走参数指的就是随机游走系数。
- 注意要用基本单位推出导出单位。
各种噪声性能指标的单位换算
角度随机游走(ARW)的单位采用
°
/
h
\degree / \sqrt{h}
°/h,陀螺零偏稳定性的单位采用
°
/
h
\degree / h
°/h。用来表达噪声大小的其它测量量是功率谱密度(PSD,power spectral density,单位为
(
°
/
h
)
2
/
H
z
(\degree / h)^2 / Hz
(°/h)2/Hz)和FFT噪声密度(单位为
°
/
h
/
H
z
\degree / h / \sqrt{Hz}
°/h/Hz)。PSD为功率谱,FFT为幅度谱。不同噪声指标之间的转换公式:
A
R
W
(
°
/
h
)
=
1
60
P
S
D
(
(
°
/
h
)
2
/
H
z
)
A
R
W
(
°
/
h
)
=
1
60
F
F
T
(
°
/
h
/
H
z
)
\begin{aligned} ARW(\degree/\sqrt{h})&=\frac{1}{60} \sqrt{PSD((\degree / \mathrm{h })^ \mathrm{2} / \mathrm{Hz})} \\ ARW(\degree/\sqrt{h})&=\frac{1}{60} FFT(\degree / h / \sqrt{Hz}) \end{aligned}
ARW(°/h)ARW(°/h)=601PSD((°/h)2/Hz)=601FFT(°/h/Hz)
Dirac函数的单位
根据定义,
δ
\delta
δ函数描述了某种理想物理量的密度分布的概念,因此其单位为:
[
δ
(
τ
)
]
=
1
[
x
]
[\delta(\tau)]=\frac{1}{[x]}
[δ(τ)]=[x]1
其中
[
x
]
[x]
[x]为该物理量的分布域单位。当
x
x
x为时间时,其单位为:
[
δ
(
τ
)
]
=
1
sec
=
Hz
[\delta(\tau)]=\frac{1}{\textrm{sec}}=\textrm{Hz}
[δ(τ)]=sec1=Hz
所以角速率噪声方差的单位为:
[
E
[
n
r
(
t
+
τ
)
n
r
(
t
)
]
]
=
[
σ
r
c
2
δ
(
τ
)
]
=
rad
2
sec
2
[E[n_r(t+\tau)n_r(t)]]=[\sigma_{r_c}^2\delta(\tau)]=\frac{{\textrm{rad}}^2}{{\textrm{sec}}^2}
[E[nr(t+τ)nr(t)]]=[σrc2δ(τ)]=sec2rad2
[ σ r c 2 ] = ( r a d s e c ) 2 s e c = r a d 2 s e c = ( r a d s e c ) 2 1 H z \begin{aligned} [\sigma_{rc}^2]&=\left(\frac{rad}{sec}\right)^2sec \\ &=\frac{{rad}^2}{sec} \\ &=\left(\frac{rad}{sec}\right)^2\frac{1}{Hz} \end{aligned} [σrc2]=(secrad)2sec=secrad2=(secrad)2Hz1
标准差的单位为:
[
σ
r
c
]
=
r
a
d
s
e
c
s
e
c
=
r
a
d
s
e
c
=
r
a
d
s
e
c
1
H
z
\begin{aligned} [\sigma_{rc}]&=\frac{rad}{sec} \sqrt{sec} \\ &=\frac{rad}{\sqrt{sec}} \\ &=\frac{rad}{sec} \frac{1}{\sqrt{Hz}} \end{aligned}
[σrc]=secradsec=secrad=secradHz1
Allan variance
计算Allan variance:
σ
2
(
τ
)
=
1
2
τ
2
⟨
(
θ
k
+
2
m
−
2
θ
k
+
m
+
θ
k
)
2
⟩
\sigma^2(\tau)=\frac{1}{2\tau^2}\langle(\theta_{k+2m}-2\theta_{k+m}+\theta_k)^2 \rangle
σ2(τ)=2τ21⟨(θk+2m−2θk+m+θk)2⟩
其中 τ = m τ 0 \tau=m\tau_0 τ=mτ0, ⟨ ⟩ \langle \rangle ⟨⟩是ensemble average(总体平均)。总体平均可以展开为: