Day 2 (前缀和 差分 二分 快速幂 逆元）

一.前缀和（一维，二维，三维）

模板

/*
一维前缀和
s[i] = s[i-1] + a[i];
查询 l - r 的和
s[r] - s[l-1] 
*/
/*
二维前缀和
s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j];
查询 (x1,y1) - （x2,y2) 的和
s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]
*/

/*
三维前缀和
s[i][j][k] = s[i-1][j][k] + s[i][j-1][k] + s[i][j][k-1]
           - s[i-1][j-1][k] - s[i-1][j][k-1] - s[i][j-1][k-1]
           + s[i-1][j-1][k-1] + a[i][j][k];

查询（x1,y1,z1) - (x2,y2,z2) 的和
s[x2][y2][z2] - s[x1-1][y1-1][z1-1] - s[x1-1][y2][z2] - s[x2][y1-1][z2] - s[x2][y2][z1-1] 
              + s[x1-1][y1-1][z2] + s[x1-1][y2][z1-1] + s[x2][y1-1][z1-1];
*/

例题

Kobolds and Catacombs

思路：能够分开的点 前面的所有数一定小于后面所有数 可以利用前缀和来判断 s表示原数组的前缀和 presum 表示 排成升序的前缀和 当s[i] == presum[i] 时 ans++

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 1000010;
LL a[N];
LL presum[N];
LL s[N];
int ans;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        cin >> a[i];
        s[i] += s[i-1] + (LL)a[i];
    }
    sort(a + 1,a + n + 1);
    for(int i = 1;i <= n;i++) presum[i] += presum[i-1] + (LL)a[i];
    bool flag = true;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        if(s[i] == presum[i]) ans++;
        else flag = false;
    }
    
    cout << ans << endl;
}

Cuboid Sum Query（三维前缀和 模板）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 110;
typedef long long LL;
int a[N][N][N];
LL s[N][N][N];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        for(int j = 1;j <= n;j++)
            for(int k = 1;k <= n;k++)
                cin >> a[i][j][k];

    for(int i = 1;i <= n;i++)
        for(int j = 1;j <= n;j++)
            for(int k = 1;k <= n;k++)
                s[i][j][k] = s[i-1][j][k] + s[i][j-1][k] + s[i][j][k-1] 
                - s[i-1][j-1][k] - s[i-1][j][k-1] - s[i][j-1][k-1] 
                + s[i-1][j-1][k-1] + (LL)a[i][j][k];
                
        
    int Q;
    cin >> Q;
    while(Q--)
    {
        int x1,x2,y1,y2,z1,z2;
        cin >> x1 >> x2 >> y1 >> y2 >> z1 >> z2;
        LL sum = s[x2][y2][z2] - s[x1-1][y1-1][z1-1] 
        - s[x1-1][y2][z2] - s[x2][y1-1][z2] - s[x2][y2][z1-1] 
        + s[x1-1][y1-1][z2] + s[x1-1][y2][z1-1] + s[x2][y1-1][z1-1] ;
        cout << sum