傅里叶变换

1. 傅里叶变换

1. 傅里叶变换的引出：

$T_1\to \infty$，f(t)：周期信号->非周期信号
谱系数$F(n{\omega }_1)=\frac{1}{T_1}{\int }_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)e^{jn{\omega }_{q}t}dt$ 趋向于0
离散谱–>连续谱，幅度无限小，$f=\frac{1}{T_1}Hz,{\omega }_1=\frac{2\pi }{T_1}rad/s$，${\omega }_1$趋于无限小
再用$F(n{\omega }_1)$表示频谱就不合适了，输入各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数

频谱密度函数的表示：$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt=F[f(t)]$
由f(t)求F($\omega$)称为傅里叶变换
F($\omega$)一般为复信号，可表示为：$F(\omega )=|F(\omega )|e^{j\phi (\omega )}$
$|F(\omega )|\sim \omega$：幅度频谱
$\phi (\omega )\sim \omega$：相位频谱

2. 反变换

$T_1=\frac{2\pi }{{\omega }_1}$

3. 傅里叶变换对

$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt=F[f(t)]$
$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(\omega )e^{j\omega t}d\omega =F^{-1}F[f(\omega )]$
简写：$f(t)\leftrightarrow F(\omega )$
$f(t)原函数$
$F(\omega )傅里叶变换函数$

2. 傅里叶变换的物理意义，存在条件，奇偶虚实性

1. 傅里叶变换的奇偶虚实性

$F(\omega )=|F(\omega )|e^{j\varphi (\omega )}=R(\omega )+jX(\omega )$
$f(t)=f_e(t)+f_o(t)$实信号=偶分量+奇分量
$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{j\omega t}dt$欧拉公式代入
$={\int }_{-\infty }^{\infty }[f_e(t)+f_o(t)]\cdot [cos\omega t-jsin\omega t]dt$
$=2{\int }_0^{\infty }{f}_e(t)cos\omega tdt-j2{\int }_0^{\infty }{f}_o(t)sin\omega tdt$
是关于t的偶函数

$R(\omega )=2{\int }_0^{\infty }{f}_e(t)cos\omega tdt$ 关于$\omega$的偶函数
$X(\omega )=-2{\int }_0^{\infty }{f}_o(t)sin\omega tdt$ 关于$\omega$的奇函数
$|F(\omega )|=\sqrt{[R(\omega ){]}^2+[X(\omega ){]}^2}$ 关于$\omega$的偶函数
$\varphi (\omega )=t{g}^{-1}\frac{X(\omega )}{R(\omega )}$ 关于$\omega$的奇函数
f(t)偶函数（奇分量为零） $\leftrightarrow F(\omega )$为实函数，只有$R(\omega )$，相位$\pm \pi$
f(t)奇函数（偶分量为零） $\leftrightarrow F(\omega )$为虚函数，只有$X(\omega )$，相位$\pm \frac{\pi }{2}$

2. 傅里叶变换的物理意义

$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(\omega )e^{j\omega t}d\omega$$F(\omega )=|F(\omega )|e^{j\varphi (\omega )}$
$=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }|F(\omega )|e^{j\varphi (\omega )}{e}^{j\omega t}d\omega$
$=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }|F(\omega )|cos[\omega t+\varphi (\omega )]d\omega +j\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }|F(\omega )|sin[\omega t+\varphi (\omega )]d\omega$
$=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\infty }|F(\omega )|cos[\omega t+\varphi (\omega )]d\omega$
$={\int }_0^{\infty }\frac{|F(\omega )|}{\pi }d\omega cos[\omega t+\varphi (\omega )]$
意义：f(t)分解为无穷多个振幅为无穷小$\frac{|F(\omega )|}{\pi }d\omega$的连续余弦信号之和，频域范围：$0\to \infty$
直接观察反变换公式：$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(\omega )e^{j\omega t}d\omega ={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{f(\omega )}{2\pi }d\omega e^{j\omega t}$
意义：f(t)分解为无穷多个振幅为无穷小$\frac{|F(\omega )|}{2\pi }d\omega$的连续指数信号之和，频域范围：$-\infty \to \infty$

3. 傅里叶变换存在的条件

$\bullet$${\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t)|dt=$有限值 （充分条件）
即f(t)绝对可积
所有能量信号均满足此条件，$|f(t){|}^2<\infty$
$\bullet$当引入$\delta (\omega )$函数的概念后，允许做变换的函数类型大大扩展了，比如u(t)