15、具有外部裁决者的多方私有集合运算

具有外部裁决者的多方私有集合运算

1. 问题陈述

在多方私有集合运算（PSO）中，存在多种变体问题。我们聚焦于特定情况：裁决者获取结果，不涉及可信第三方，且先假设参与方为半诚实状态，后续会说明如何调整协议以适应恶意对抗模型。

协议中有 (n\geq2) 个参与方和一个裁决者。每个参与方 (P_i) 有一个私有集合 (S_i)（(1\leq i\leq n)），裁决者无输入集合，其他各方信任裁决者按协议计算结果。裁决者通常无动机获取最终结果之外的信息，甚至可能需证明自身仅获取必要信息，原因包括安全、数据最小化等。

具体问题可分为以下三类：
- 问题 - 1 ：各方以私有集合作为输入，协议执行后，裁决者想了解：
- 所有 (n) 个集合的并集中有哪些元素。
- 并集的基数是多少。
- 并集是否为空集。
- 问题 - 2 ：各方都有一个集合，协议执行后，裁决者了解：
- 所有其他各方 (n) 个集合的交集中有哪些元素。
- 交集的基数是多少。
- 交集是否为空集。
- 问题 - 3 ：各方都有私有集合，协议执行后，裁决者得知任意给定集合运算的结果。一般的 PSO 可写成合取范式（CNF）：
[ST = (A_{1,1} \cup… \cup A_{1,\alpha_1}) \cap… \cap (A_{\beta,1} \cup… \cup A_{\beta,\alpha_{\beta}})]
其中 (A_{i,j} \in {S_1, …, S_n, \overl