小球染色问题总结-DP和递归

问题描述

有一串长度为N的小球排成一排，要求将他们全部染色，共有k种颜色，但是不能出现连续三个及以上相同颜色的珠子。输入长度N和颜色种类K，求所有染色的方法总数。

输入示例：2,3
输出示例：9
输入示例：3,2
输出示例：6

问题分析：

排列问题暴力破解的时间复杂度为O(k^n)。

可以考虑DP，因为第i个小球的颜色只受i-1和i-2小球颜色的影响。

用dp[i-2]表示当染色到i-2个球时，所有的染色方法总数，则：

    若将i-1和i染成同样的颜色，那么i和i-1有k-1种染色方法，因为只需和i-2不同即可。此种情况下，染色总方法数为（i和i-1的染色方法数）*（前i-2的染色方法总数） 即：（k-1）*dp[i-2];

    若将i-1和i染成不同的颜色， 那么i的颜色选择和i-2无关，此时i仍然有k-1种颜色选择。此种情况下，染色总方法数为（i的染色方法数）*（前i-1的染色方法总数）即：（k-1）*dp[i-1];

综合两种情况，dp[i]=（k-1）*dp[i-2] + （k-1）*dp[i-1];

当k=2时，退化为dp[i] = dp[i-2] + dp[i-1];

DP代码

 

public int numWays(int n, int k) {
        if (n <= 2) {
            return k*k;
        } else {
            int[] m = new int[n];
            m[0] = k;
            m[1] = k*k;
            for (int i = 2; i < n; i++) {
                m[i] = m[i-1] * (k-1) + m[i-2] * (k-1);
            }
            return m[n-1];
        }
    }