【动态规划】房屋染色问题

最新推荐文章于 2023-10-25 09:56:40 发布

四十二画生

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文章标签：动态规划算法 c++

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/m0_50884973/article/details/121051502

版权

该博客介绍了如何运用动态规划解决一个经典的计算机科学问题：给定一列房子和每间房子染不同颜色的费用，找到使相邻房屋颜色不同的最低染色成本。文章详细阐述了动态规划的状态转移方程，初始条件，以及C++代码实现。通过这个例子，读者可以学习到如何应用动态规划解决实际问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

这里有n个房子在一列直线上，现在我们需要给房屋染色，分别有红色蓝色和绿色。每个房屋染不同的颜色费用也不同，你需要设计一种染色方案使得相邻的房屋颜色不同，并且费用最小，返回最小的费用。

费用通过一个nx3 的矩阵给出，比如cost[0][0]表示房屋0染红色的费用，cost[1][2]表示房屋1染绿色的费用，依此类推。找到油漆所有房子的最低成本。

样例

样例1:

输入: [[14,2,11],[11,14,5],[14,3,10]]
输出: 10
解释: 第一个屋子染蓝色，第二个染绿色，第三个染蓝色，最小花费：2 + 5 + 3 = 10.

样例 2:

输入: [[1,2,3],[1,4,6]]
输出: 3

思路分析

审题时看到需要求的是其最小费用，并且有n个房子在一列直线上，说明是一串序列的问题求最值，通常的思路是贪心算法以及动态规划，这里采用动态规划。

第一步需要确认状态
从最后一种情况入手，假设染了n个房子，因此当我们染第n个房子的时候，前n-1个房子的最小费用+第n个房子的染色费用就是我们需要的总最小费用。
也就是说，通常状态下，染第i+1个房子，前i个房子最小费用+当前房子染色费用即为目前为止的最小费用。假设f[i]为染i+1个房子的最小费用，而f[i-1]则为前i个房子的最小费用（因为i是从0开始的），cost[i-1]为当前房子所需要的染色费用，则我们可以得到方程：

f[i] = f[i-1] + cost[i-1]

但是发现有个条件：有三种颜色并且相邻的房屋颜色不同，因此无法确定状态，解决的方法是直接记录下来，即分别记录下三种颜色时的状态.
设f[i][0], f[i][1], f[i][2]为染了前i个房子并且房子i-1是红色、蓝色、绿色的状态，因此可以确定动态规划方程：

f[i][0] = min ( f[i-1][1] + cost[i-1][0], f[i-1][2] + cost[i-1][0] ）
f[i][1] = min ( f[i-1][0] + cost[i-1][1], f[i-1][2] + cost[i-1][1] )
f[i][2] = min ( f[i-1][0] + cost[i-1][2], f[i-1][1] + cost[i-1][2] )

确定初始条件和边界条件
由于是序列型，因此并不需要考虑边界条件，而初始条件为当i等于0时，说明前0个房子染色，因此总费用为0，即

f[0][0] = f[0][1] = f[0][2] = 0

计算顺序（填表顺序）
直接升序填表即可

4.返回表格的最后一个元素即为结果

C++代码：

class Solution {
public:
    /**
     * @param costs: n x 3 cost matrix
     * @return: An integer, the minimum cost to paint all houses
     */
    int minCost(vector<vector<int>> &costs) {
        // write your code here
        int n = costs.size();
        if(n == 0){
            return 0;
        }
        int f[n+1][3];
        f[0][0] = f[0][1] = f[0][2] = 0; //边界条件
        for(int i=1; i<=n; i++){
            for(int j=0; j<3; j++){
                f[i][j] = INT_MAX; //小技巧：先手设为最大值，便于得到最小值
                for(int k=0; k<3; k++){
                    if(j != k){
                    	if(f[i-1][k]+costs[i-1][j] < f[i][j]){
                        	f[i][j] = f[i-1][k]+costs[i-1][j];
                   		}
                    }
                }
            }
        }
        //返回最小值
        int res = f[n][0];
        if(res > f[n][1]){
            res = f[n][1];
        }
        if(res > f[n][2]){
            res = f[n][2];
        }
        return res;
    }
};