各类多项式操作的暴力递推法

最新推荐文章于 2025-05-20 03:01:49 发布

hezlik

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分类专栏：算法入门

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本文深入讲解了多项式的基本运算，包括求逆、对数、指数、开方和求幂等高级操作，通过递推公式实现了在O(n^2)时间复杂度内的高效计算。

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一.一些约定.

对于接下来的所有操作，我们都是给出 $F (x)$ ，求 $G (x) = T (F (x))$ ，其中 $T ()$ 是操作函数，我们的目标是在 $O(n^{2})$ 的时间复杂度内完成所有操作.

多项式 $F (x), G (x)$ 的系数分别为 $f_i,g_i$ .

二.多项式求逆.

对于一个多项式 $F (x)$ ，我们要求 $G (x)$ 满足 $F (x) G (x) = 1$ .

那么有：
$G(x)F(x)=1\\ \sum_{j=0}^{i}g_jf_{i-j}=0\\ g_i=-\frac{1}{f_0}\sum_{j=0}^{i-1}g_{j}f_{i-j}$

其中初项 $g0=1f0g_0=\frac{1}{f_0}$ .

三.多项式ln.

对于一个常数项为 $0$ 的多项式 $F (x)$ ，我们要求 $G (x)$ 满足 $G(x)=ln⁡(1+F(x))G(x)=\ln (1+F(x))$ .

那么有：
$G(x)=\ln(1+F(x))\\ G'(x)=\frac{F'(x)}{1+F(x)}\\ G'(x)(1+F(x))=F'(x)\\ G'(x)=F'(x)-G'(x)F(x)\\ (i+1)g_{i+1}=(i+1)f_{i+1}-\sum_{j=0}^{i-1}(j+1)g_{j+1}f_{i-j}\\ g_{i+1}=f_{i+1}-\frac{1}{i+1}\sum_{j=0}^{i-1}(j+1)g_{j+1}f_{i-j}\\ g_i=f_i-\frac{1}{i}\sum_{j=1}^{i-1}jg_{j}f_{i-j}$

其中初项 $g_0=0$ .

四.多项式exp.

对于一个常数项为 $0$ 的多项式 $F (x)$ ，我们要求 $G (x)$ 满足 $G(x)=e^{F(x)}$ .

那么有：
$G(x)=e^{F(x)}\\ G'(x)=e^{F(x)}F'(x)\\ G'(x)=F'(x)G(x)\\ (i+1)g_{i+1}=\sum_{j=0}^{i}(j+1)f_{j+1}g_{i-j}\\ g_{i+1}=\frac{1}{i+1}\sum_{j=0}^{i}(j+1)f_{j+1}g_{i-j}\\ g_{i}=\frac{1}{i}\sum_{j=1}^{i}jf_{j}g_{i-j}$

其中初项 $g_0=1$ .

五.多项式开方.

对于一个多项式 $F (x)$ ，我们要求 $G (x)$ 满足 $G^{2}(x)=F(x)$ .

那么有：
$G^{2}(x)=F(x)\\ \sum_{j=0}^{i}g_{j}g_{i-j}=f_i\\ 2g_{0}g_{i}=f_i-\sum_{j=1}^{i-1}g_{j}g_{i-j}\\ g_i=\frac{1}{2g_0}\left(f_i-\sum_{j=1}^{i-1}g_{j}g_{i-j}\right)$

其中初项 $g0=f0g_0=\sqrt{f_0}$ .

六.多项式求幂.

对于一个多项式 $F (x)$ ，我们要求 $G (x)$ 满足 $G(x)=F^{k}(x)$ ，其中 $k$ 是一个常数.

那么有：
$G(x)=F^{k}(x)\\ G'(x)=kF'(x)F^{k-1}(x)\\ G'(x)=kF'(x)\frac{G(x)}{F(x)}\\ G'(x)F(x)=kG(x)F'(x)\\ \sum_{j=0}^{i}(j+1)g_{j+1}f_{i-j}=k\sum_{j=0}^{i}g_{j}(i-j+1)f_{i-j+1}\\ (i+1)f_{0}g_{i+1}=k\sum_{j=0}^{i}g_{j}(i-j+1)f_{i-j+1}-\sum_{j=0}^{i-1}(j+1)g_{j+1}f_{i-j}\\ (i+1)f_{0}g_{i+1}=k\sum_{j=0}^{i}(i-j+1)g_{j}f_{i-j+1}-\sum_{j=1}^{i}jg_{j}f_{i-j+1}\\ (i+1)f_{0}g_{i+1}=k(i+1)g_0f_{i+1}+\sum_{j=1}^{i}g_{j}f_{i-j+1}(ki-kj+k-j)\\ g_{i+1}=\frac{1}{f_0}\left(kg_0f_{i+1}+\frac{1}{i+1}\sum_{j=1}^{i}g_jf_{i-j+1}(ki-kj+k-j)\right)\\ g_{i}=\frac{1}{f_0}\left(kg_0f_{i}+\frac{1}{i}\sum_{j=1}^{i-1}g_{j}f_{i-j}(ki-kj-j)\right)$