蓝书（算法竞赛进阶指南）刷题记录——POJ2976 Dropping tests（0-1分数规划入门）

题目：POJ2976.
题目大意：给定你n组$a_i,b_i$，让你取出$n-k$组，使得这$n-k$组的$a$之和除以$b$之和最大.
$1\le n\le 10^3,1\le a_i\le b_i\le 10^9$.

这是一个经典的$01$分数规划模型，$01$分数规划的基本式子为：
$$\frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_i\ast x_i}{{\sum }_{i=1}^n{b}_i\ast x_i}$$

$01$分数规划，就是选择$x_i=0/1$，使得上式最大，并求出最大值.

解决方案一：

我们考虑猜测一个值$L$，判定最大值$max$与$L$的大小关系，分两种情况：

情况1：
$$\begin{gathered} \exists \frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_i\ast x_i}{{\sum }_{i=1}^n{b}_i\ast x_i}\ge L \\ \exists \sum _{i=1}^n{x}_i(a_i-L\ast b_i)\ge 0 \end{gathered}$$

发现只要这个式子成立的$L$都是可行的，也就是说最大值大于或等于$L$.

情况2：
$$\begin{gathered} \forall \frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_i\ast x_i}{{\sum }_{i=1}^n{b}_i\ast x_i}<L \\ \forall \sum _{i=1}^n{x}_i(a_i-L\ast b_i)<0 \end{gathered}$$

发现这个式子成立的$L$都是不可行的，也就是说最大值小于$L$.

所以我们就可以二分$L$，然后判定这个式子的最大值是否会大于$0$.

判定的话找到最大的$n-k$组$a_i-L\ast b_i$，也就是预处理一下出对应的值然后排序一下就好$O(nlo{g}^{2}n)$.

解决方案二：

一种被称为Dinkelbach迭代法的算法.这种方法大部分情况下比二分更快，但不易于理解.

我们设一个函数：
$$f(L)=-L\sum _{i=1}^n{x}_i\ast b_i+\sum _{i=1}^n{x}_i\ast a_i$$

将每一组$x_i$对应的函数图像放到直角坐标系上可以得到若干条直线：

很容易发现每一条直线与$x$轴的交点的横坐标（即直线的横截距）就是最大的可行的$L$值.

知道了这一点后，很容易想到我们可以先任意确定一条直线到达它的横截距位置，然后看是否有直线在目前这个位置的上方，若有则到上方某条直线的横截距位置，否则就停止输出答案.

考虑如何实现，首先我们随便取一个$L$，一般取$0$即可.然后每次用$L$得到一组$x$，把这一组$x$代进去得到函数$f$，求出$f(L)=0$时的解$L^{\prime }$.用$L^{\prime }$与$L$比较，若$L^{\prime }$更大则用$L^{\prime }$代替$L$继续迭代，否则将$L$作为答案即可.

这个算法的速度不知道有没有保证，一般比二分快.

方案一代码如下：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm> 
  using namespace std;

#define Abigail inline void
typedef long long LL;

const int N=1000;
const double eps=0.00000001;

int n,k;
double a[N+9],b[N+9],ans,c[N+9];

bool check(double mid){
  double ans=0;
  for (int i=1;i<=n;++i)
    c[i]=a[i]-mid*b[i];
  sort(c+1,c+1+n);
  for (int i=n;i>k;--i)
    ans+=c[i];
  return ans>=0;
}

Abigail into(){ 
  for (int i=1;i<=n;++i)
    scanf("%lf",&a[i]);
  for (int i=1;i<=n;++i)
    scanf("%lf",&b[i]); 
}

Abigail work(){
  double l=0,r=1.0;
  while (l+eps<r){
    ans=(l+r)/2.0;
    if (check(ans)) l=ans;
    else r=ans;
  }
}

Abigail outo(){
  printf("%.0f\n",ans*100.0);
}

int main(){
  while (~scanf("%d%d",&n,&k)&&n+k){
    into();
    work();
    outo();
  }
  return 0;
}

方案二代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
  using namespace std;

#define Abigail inline void
typedef long long LL;

const int N=1000;
const double eps=0.00000001;

int n,k;
double a[N+9],b[N+9],ans;
struct node{
  double v;
  int id;
}c[N+9];

bool cmp(const node &a,const node &b){return a.v<b.v;}

double check(double mid){
  double sa=0,sb=0;
  for (int i=1;i<=n;++i)
    c[i].v=a[i]-b[i]*mid,c[i].id=i;
  sort(c+1,c+1+n,cmp);
  for (int i=n;i>k;--i)
    sa+=a[c[i].id],sb+=b[c[i].id];
  return sa/sb;
}

double dinkelbach(){
  double l=0,hl=-2333;
  while (fabs(l-hl)>eps){
    hl=l;
    l=check(l);
  }
  return hl;
}

Abigail into(){ 
  for (int i=1;i<=n;++i)
    scanf("%lf",&a[i]);
  for (int i=1;i<=n;++i)
    scanf("%lf",&b[i]); 
}

Abigail outo(){
  printf("%.0f\n",dinkelbach()*100.0);
}

int main(){
  while (~scanf("%d%d",&n,&k)&&n+k){
    into();
    outo();
  }
  return 0;
}

实测POJ上方案一跑了$94ms$，方案二跑了$47ms$.