斜率优化DP入门（BZOJ1010 玩具装箱题解）

最新推荐文章于 2025-02-26 16:16:42 发布

hezlik

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分类专栏：算法入门

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本文深入探讨斜率优化动态规划技巧，适用于特定形式的DP方程优化，通过几何直观理解，利用下凸壳特性，结合单调队列实现高效求解。以BZOJ1010为例，详细解析斜率优化的转化过程及代码实现。

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一.斜率优化的作用.

斜率优化主要针对这样一类方程进行优化：
$f[i]=a_i+\min_{j=0}^{i-1}\{ f[j]+b_j+c_i*d_j \}$

其中 $\min$ 也可以换成 $\max$ ， $a_i,b_i,c_i,d_i$ 均表示一个可以通过 $i$ 直接得到的项（包括已求出的 $f [i]$ ）.

当然这个方程还不是最通用的，有时候还会有更加毒瘤复杂的限制…

二.斜率优化的通用优化方式.

以上述方程为模板，我们可以假设 $e_i=f[i]+b_i$ ，方程变为：
$f[i]=a_i+\min_{j=0}^{i-1}\{ e_j+c_i*d_j \}$

然后我们求一下从 $k$ 转移到 $i$ 比从 $j$ 转移到 $i$ 更优要满足什么条件：
$d_j\leq d_k\\ e_j+c_i*d_j\geq e_k+c_i*d_k\\ e_j-e_k\geq c_i(d_k-d_j)\\ \frac{e_k-e_j}{d_k-d_j}\leq -c_i$

也就是说若 $d_j\leq d_k$ ，则 $k$ 比 $j$ 优必然要满足 $\frac{e_k-e_j}{d_k-d_j}\leq -c_i$ .

这有什么用呢？考虑这个式子的几何意义，把 $d_i,e_i)$ 放到直角坐标系上，那么这个式子的意思就是说， $j$ 比 $k$ 优的条件是经过 $d_j,e_j)$ 与 $d_k,e_k)$ 的直线斜率小于等于 $c_i$ .

到这一步之后，我们考虑若有这样子三个点：
在这里插入图片描述
考虑出现了上凸的情况，直线 $A B$ 的斜率大于直线 $A C, B C$ ，这说明在点 $B$ 优于点 $A$ 之前点 $C$ 就已经优于点 $A$ ，并且此时点 $C$ 一定优于点 $B$ ，也就是说点 $B$ 完全没用了.

那么这个时候候选最优点会呈现怎么样一个形状呢？显然是斜率递增，也就是一个下凸壳.

那么对于一个确定的 $c_i$ ，我们应该怎么在候选点中找到最优点进行转移呢？显然是找到第一条斜率大于 $c_i$ 的线段，选择这条线段更靠左的端点即可.

那么我们用各种方式维护这个下凸壳即可，具体维护因题目而异，但只要理解其本质，那么不管用单调队列、二分、cdq分治、set还是平衡树都是一样的.

三.例题与代码.

题目：BZOJ1010.
题目大意：给定一个长度为 $n$ 的序列 $a_i$ ，现在要求划分为若干段，每段 $l_i,r_i$ 贡献为 $(r_i-l_i-L+\sum_{j=l_i}^{r_i}a_j)^2$ ，其中 $L$ 是一个常数，求最小贡献和.
$1\leq n\leq 5*10^4$ .

设 $f [i]$ 表示前 $i$ 个数划分成若干段的最小贡献和， $s_i$ 为 $a_i$ 的前缀和，可以列出DP方程：
$f[i]=\min_{j=0}^{i-1} \{ f[j]+(s_i-s_j+i-j-1-L)^2 \}\\$

设 $b_i=s_i+i-1-L,c_i=s_i+i$ ，方程变为：
$f[i]=\min_{j=0}^{i-1} \{ f[j]+(b_i-c_j)^2 \}\\ f[i]=\min_{j=0}^{i-1} \{ f[j]+b_i^2-2b_ic_j+c_j^2 \}\\ f[i]=b_i^2+\min_{j=0}^{i-1} \{ f[j]-2b_ic_j+c_j^2 \}$

设 $d_i=f_i+c_i^2$ ，方程变为：
$f[i]=b_i^2+\min_{j=0}^{i-1} \{ d_j-2b_ic_j \}$

现在就是一个标准的斜率优化形式了，推一下：
$j<k\Leftrightarrow c_j<c_k\\ d_j-2b_ic_j\geq d_k-2b_ic_k\\ d_j-d_k\geq -2b_i(c_k-c_j)\\ \frac{d_k-d_j}{c_k-c_j}\leq 2b_i\\$

发现这个式子是要维护一个下凸壳也就是斜率递增，直接用一些数据结构大力维护即可.

不过容易发现的是， $b_i$ 和 $c_i$ 都是单调递增的，所以我们可以直接用单调队列来维护.

时间复杂度 $O (n)$ .

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define Abigail inline void
typedef long long LL;

const int N=50000;

int n,m;
LL a[N+9],b[N+9],c[N+9];
LL dp[N+9],d[N+9];
int q[N+9],hd,tl;

double Query_slope(int p0,int p1){return 1.0*(d[p1]-d[p0])/(c[p1]-c[p0]);}

Abigail into(){
  scanf("%d%d",&n,&m); 
  for (int i=1;i<=n;++i){
  	scanf("%lld",&a[i]);
  	a[i]+=a[i-1];
  	b[i]=(c[i]=a[i]+i)-m-1;
  }
}

Abigail work(){
  q[hd=tl=1]=0;
  for (int i=1;i<=n;++i){
  	for (;hd<tl&&Query_slope(q[hd],q[hd+1])<=2.0*b[i];++hd);
  	d[i]=(dp[i]=b[i]*b[i]+d[q[hd]]-2*b[i]*c[q[hd]])+c[i]*c[i];
  	for (;hd<tl&&Query_slope(q[tl-1],q[tl])>=Query_slope(q[tl],i);--tl);
  	q[++tl]=i;
  }
}

Abigail outo(){
  printf("%lld\n",dp[n]);
}

int main(){
  into();
  work();
  outo();
  return 0;
}