玩具装箱(斜率优化DP)

//https://loj.ac/p/10188
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define all(a) (a).begin(), (a).end()
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int N = 5e4 + 10;

/*
f[i] = min{f[j] + (i - (j + 1) + pre[i] - pre[j] - C) ^ 2}
令 L = C + 1, s[i] = pre[i] + i
则 f[i] = min{f[j] + (s[i] - s[j] - L) ^ 2}
将与j无关的移到外面
则 f[i] - (s[i] - L) ^ 2 = min{f[j] + s[j] ^ 2 + 2 * s[j] * (L - s[i])}

因 y = kx + b, 移项得 b = y - kx
将与 j 有关的信息表示为 y 的形式
把同时与 i, j 相关的信息表示为 kx
把需要最小化的信息(与 i 有关的信息)表示为 b 的形式， 也就是截距

x[j] = s[j]
y[j] = f[j] + s[j] ^ 2
k[i] = -2(L - s[i])
b[i] = f[i] - (s[i] - L) ^ 2

则 b[i] = min{y[j] - k[i] * x[j]}

把 x, y 看做二维平面上的点，那问题就转化为最小化截距
也就是一条斜率为 k[i] 的直线从下往上移动，第一个碰到的点 p 就是最优转移点
所以只有下凸包上的点可能成为转移点

再本题中因为 k[i] 递增，所以考虑使用单调队列维护下凸壳上的点
队列中的点满足条件 K(i - 1, i) < K(i, i + 1)

同时维护一个指针 p 维护最优转移点，因为 k[i] 递增， 所以 p 也递增

在插入一个点时， 要判断队尾还是否是下凸壳上的点，若满足 K(r-1, r) <= K(r, i) 则是下凸壳上的点 
*/

int n, L;
ll pre[N], s[N];
int que[N], head, p;
ll x[N], y[N], f[N];

void solve()
{
    cin >> n >> L;

    L++;

    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> pre[i];
        pre[i] += pre[i - 1];
        s[i] = pre[i] + i;
    }

    que[++head] = 0;
    p = 1;

    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        ll k = -2 * (L - s[i]);

        while(p < head && k * (x[que[p + 1]] - x[que[p]]) >= y[que[p + 1]] - y[que[p]]) p++;

        f[i] = y[que[p]] - k * x[que[p]] + (s[i] - L) * (s[i] - L);
        x[i] = s[i];
        y[i] = f[i] + s[i] * s[i];

        while(p < head && (y[que[head]] - y[que[head-1]]) * (x[i] - x[que[head]]) >= (y[i] - y[que[head]]) * (x[que[head]] - x[que[head-1]])) head--;
        
        que[++head] = i;
    }

    cout << f[n] << '\n';
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    // cin >> t;
    while (t--)
        solve();
    return 0;
}