斜率优化DP-玩具装箱TOY

最新推荐文章于 2023-11-29 12:26:23 发布

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分类专栏：斜率优化DP 文章标签：斜率优化DP 玩具装箱

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本文深入探讨了动态规划(DP)的优化策略，特别是在斜率优化方面的应用，通过具体实例解析了如何将DP方程转化为直线方程，实现从O(n^2)到O(nlogn)或O(n)的时间复杂度提升。文章详细介绍了斜率函数、单调队列和凸包维护等核心概念，以及在玩具装箱问题中的具体实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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小总结

优化目的：在依次计算 $d p [j]$ 时能快速找到前方最优的 $j$ 使得从 $j$ 到 $i$ 的转移最优；若不优化，整体复杂度应为 $O(n^2)$ ，优化后为 $O (n l o g n)$ 或 $O (n)$ （在于斜率 $k$ 随 $i$ 是否单调）
关键：能推出直线方程 $k x + b = y$ ，其中：
$b$ ：包含当前状态 $d p [i]$ 以及一些常数(只与 $i$ 相关)
$y$ ：由只与 $j$ 相关的项组成
$k x$ ：由包含 $i$ 和 $j$ 的交叉项组成（其中 $k$ 只包含与 $i$ 有关的项， $x$ 只包含与 $j$ 有关的项）
多样性：所推出的 $k x + b = y$ 方程具有多样性，同一个转移方程可以转化为多种正确的直线方程，例如：
原转移方程： $dp[i]=dp[j]+(s[i]-s[j]-L)^2$
直线方程 $1$ ： $2*s[i]*(s[j]+L)+dp[i]-s[i]^2=dp[j]+(s[j]+L)^2$
直线方程 $2$ ： $2*s[i]*s[j]+dp[i]-s[i]^2+2*s[i]*L-L^2=dp[j]+s[j]^2+2*s[j]*L$
算法三大核心：
1. 斜率函数slope：用直线方程中的 $x$ 和 $y$ 表达式计算 $x 1, y 1, x 2, y 2$ ，求出斜率(double)
2. 单调队列中寻找最优点：注意若 $k [i]$ 能保证单调，则可进行head++的操作；否则用二分
3. 将当前状态插入单调队列：维护一个凸包

玩具装箱

题意：给定每个物品长度，同时打包一些连续的物品会有代价，求打包所有的物品的最小花费

思路：写出转移方程，去掉 $m i n$ ，然后将转移方程化成直线方程（化简过程使用了一些简化方程的手法，细节参见其他博客），注意本题要用long long或者double

如下代码所用的直线方程为： $2*s[i]*(s[j]+L)+dp[i]-s[i]^2=dp[j]+(s[j]+L)^2$

//#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#include "bits/stdc++.h"
#define pb push_back
#define ls l,m,now<<1
#define rs m+1,r,now<<1|1
#define hhh printf("hhh\n")
#define see(x) (cerr<<(#x)<<'='<<(x)<<endl)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll,int> pr;
inline ll read() {ll x=0;char c=getchar();while(c<'0'||c>'9')c=getchar();while(c>='0'&&c<='9')x=x*10+c-'0',c=getchar();return x;}
 
const int maxn = 1e5+10;
const int mod = 1e9+7;
const double eps = 1e-9;

ll N, L;
ll s[maxn], q[maxn];
ll dp[maxn];

inline double slope(int i, int j) {
	ll x1=s[i]+L, x2=s[j]+L;
	ll y1=dp[i]+(s[i]+L)*(s[i]+L);
	ll y2=dp[j]+(s[j]+L)*(s[j]+L);
	return double(y2-y1)/(x2-x1);
}

int main() {
    //ios::sync_with_stdio(false);
    N=read(), L=read()+1; //L+1为了简化方程
	for(int i=1; i<=N; ++i) s[i]=read(), s[i]+=s[i-1]; //前缀和
	for(int i=1; i<=N; ++i) s[i]+=i; //s[i]+=i也为了简化方程
	int head=0, tail=0;
	for(int i=1; i<=N; ++i) {
		while(head<tail&&slope(q[head],q[head+1])-eps<=2*s[i]) head++; //找最优转移点
		dp[i]=dp[q[head]]+(s[i]-s[q[head]]-L)*(s[i]-s[q[head]]-L);
		while(head<tail&&slope(q[tail-1],i)<slope(q[tail-1],q[tail])) tail--; //将此点插入队列，并维护一个下凸包
		q[++tail]=i;
	}
	printf("%lld\n", dp[N]);
}