有关快速幂的问题

法一：运用位运算简化计算

以 $3^{22}$ 为例，它的底数为 $3$，指数为 $22$。指数的二进制形式为 10110。通过二进制与十进制的转换，我们可以把 $22$ 分解为 $22=2^4\ast 2^2\ast 2^1$。因此，$3^{22}=3^{2^4}\ast 3^{2^2}\ast 3^{2^1}$。我们有以下几点发现：

• 1、$2^4$, $2^2$ 和 $2^1$ 与二进制形式中 $1$ 的出现位置有关，那么，这也导致 $3^{2^4}$, $3^{2^2}$ 和 $3^{2^1}$ 有这样的关系。
• 2、我们知道，在二进制中，相邻的两位，从“右边到左边”要 × 2。比如，$2^2=2^1\times 2$; 由于中间隔了一个 $0$，所以要乘两个 2，$2^3=2^2\times 2\Rightarrow 2^4=2^3\times 2$。反应到 $3^{22}$ 上，就变成了 平方 关系。比如，$3^{2^2}=3^{2^1}\times 3^{2^1}$; 由于中间隔了一个 $0$，所以要 平方 两次，$3^{2^3}=3^{2^2}\times 3^{2^2}\Rightarrow 3^{2^4}=3^{2^3}\times 3^{2^3}$。

ll quick_pow(ll x, ll n, ll mod)
{
	ll ans = 1;
	while (n > 0)
	{
		if (n & 1)
			ans = ans * x % mod;
		x = x * x % mod;
		n >>= 1;
	}
	return ans;
}

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法二：运用递归的思想

对于 $x^n$，有

$$\begin{array}{r}{x}^n=\{\begin{array}{ll}{(x^2)}^{\lfloor n/2\rfloor }& ,n为偶数\\ {(x^2)}^{\lfloor n/2\rfloor }\ast x& ,n为奇数\end{array}\end{array}$$

令 $x^n=$ quick_pow(x, n)，则递归方程：

$$\begin{array}{r}\text{quick\_pow(x, n)}=\{\begin{array}{ll}1& ,n==0\\ \text{quick\_pow(x, n / 2)}& ,n为非0偶数\\ \text{quick\_pow(x, n / 2)}\ast \text{x}& ,n为奇数\end{array}\end{array}$$

ll quick_pow(ll x, ll n, ll mod)
{
	if (n == 0)    return 1;
	ll ans = quick_pow1(x * x % mod, n / 2, mod);
	if (n & 1)    ans = ans * x % mod;
	return ans;
}

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完