快速乘与快速幂详解（附带板子）

 PS：板子在后面，想看的可以直接点目录

目录

快速乘代码详解

快速幂代码详解

快速乘板子

快速幂板子

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（该文先介绍快速乘，进而推进出快速幂，看快速幂的同学可以直接翻到后面）

为什么我们需要快速乘呢

我们这里通过一个问题来给出答案

现在我们有这样一个问题：

给你两个数m和n ，请问他们相乘后的个位数是多少？

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大家肯定要说

这还不是送分题吗？

直接就甩(′д｀ )…彡给我下面的代码

#include<stdio.h>
int mian()
{
	int n,m;
	int h;
	scanf("%d%d",&n,&m);
    h=(m*n)%10
	printf("%d",h);
	return 0;
 } 

这不是有手就行

还需要快速乘？

但是

假如m和n的取值范围为

1<m<10^14+3    1<n<10^14+3

(这里的10^14代表10的14次方)

假如m和n都取10的14次方呢

这下就算我们使用了

long long 也存不下这个h了

（如果对于int,long,long long等对应数据范围不是很了解，推荐大家先看我的这一篇博客c语言常见输入输出格式简单介绍_代码changeword的博客-优快云博客）

那么这个时候就需要我们的快速乘了

在了解快速乘之前我们需要了解下面

关于取模运算的运算法则

(m * n) % p = ((m % p) * (n % p)) % p
//p在这里为取的模

例如m=12，n=13,P=10；
常规算法：
(m * n) % p=(12*13)%10
           =156%10
           =6;
快速乘思想算法：
(m * n) % p=((m % p) * (n % p)) % p
           =（(12%10)*(13%10)）%10
           =(2*3)%10
           =6%10
           =6

很好

下面给出实例

m=12,n=13,p=10
按照快速乘所进行的过程
1.定义一个ans=0取最终的值；
2.n为奇数，ans=（ans+m）%10=（0+12）%10=2；
3.n为偶数，n=n/2=13/2=6(不需要让n-1的理由)
  m=（m+m）%10=（12+12）%10=4；
4.n为偶数，n=n/2=6
  m=（m+m）%10=（4+4）%10=8；
5.n为偶数,n=n/2=3;
  m=(m+m)%10=6;
......
8.n为奇数,ans=(ans+m)%10=6;
9.返回ans

相必大家已经了解了

相关的运算思想

那么我们现在把这一思想

转换成相对应的一个自定义函数看看

快速乘代码详解

int ksc(int m,int n,int p)//定义快速乘为ksc函数
{
	int ans=0;//ans为结果
	while(n)//当n为0的时候退出，不影响输出ans
	{
		if(n%2==1)//如果n为奇数，则让结果加上m，并且n-1
		{
			n=n-1;//这步可以省略
			ans=(ans+m)%p;
		}
		n=n/2;//取整，上面为什么可以省略的原因
		m=(m+m)%p;//快速乘思想的精华所在
	}
	return ans;//返回所需要的值
}

想必大家已经对快速乘有了初步的认识

那么让我们借助上面取模的运算法则

(m * n) % p = ((m % p) * (n % p)) % p
//p在这里为取的模

例如m=12，n=13,P=10；
常规算法：
(m * n) % p=(12*13)%10
           =156%10
           =6;
取模算法：
(m * n) % p=((m % p) * (n % p)) % p
           =（(12%10)*(13%10)）%10
           =(2*3)%10
           =6%10
           =6

快速幂代码详解

int ksm(int m,int n,int p)//定义快速乘为ksm函数
{
	int ans=1;//ans为结果,(注意这里为什么不同)
	while(n)//当n为0的时候退出，不影响输出ans
	{
		if(n%2==1)//如果n为奇数，则让结果加上m，并且n-1
		{
			n=n-1;//这步可以省略
			ans=(ans*m)%p;
		}
		n=n/2;//取整，上面为什么可以省略的原因
		m=(m*m)%p;//快速幂思想的精华所在
	}
	return ans;//返回所需要的值
}

好的

大家一定要好好思考

希望大家都能理解并且在题目中合理应用

谢谢大家的阅读

就到这里结束了

PS：希望大家看了这篇文章后就懂得如何用正确使用快速乘和快速幂了哦，就是酱紫 大家的支持是我的动力源泉 谢谢大家 拜拜xdm！（有错误欢迎私信我哦）

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快速乘板子

typedef long long ll;
const ll M = 1e9;
ll ksc(ll x, ll y) {
	ll ans = 0;
	while (x) {
		if (x & 1) {
			ans = (ans+y)%M;
		}
		x >>= 1;
		y = (y << 1)%M;
	}
	return ans;
}

快速幂板子

ll ksm(ll x, ll y) {//x的y次方
	ll ans = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) {
			ans = (ans * x) % M;
		}
		y >>= 1;
		//x = ksc(x, x)%M; 
		//如果x过大，则用该式子，会多花费一点时间
        //需配合快速乘使用
		x = (x * x) % M;
	}
	return ans;
}