统计子矩阵

一、题目描述

P8783 [蓝桥杯 2022 省 B] 统计子矩阵

二、算法简析

2.1 二维前缀和

我们知道，只要确定了矩阵的左上顶点和右下顶点，一个矩阵就被固定了。因此，我们可以遍历这两个顶点，达到遍历所有子矩阵的目的，复杂度会达到 $O(N^2\ast M^2)$。确定了子矩阵，就要判断子矩阵的值是否不大于 $K$。 如何能高效地得到子矩阵的值呢？答案是二维前缀和。
与普通的前缀和不同，二维前缀和 $\text{psum[i][j]}=$ 左上顶点 $(1,1)$、右下顶点 $(i,j)$ 确定的子矩阵的值。通过以下表达式，可以得到二维前缀和：

$$\text{psum[i][j] = psum[i][j - 1] + psum[i - 1][j] - psum[i - 1][j - 1] + A[i][j]}$$

有了二维前缀和，就可以以 $O(1)$ 确定左上角 $(x1,y1)$、右下角 $(x2,y2)$ 的子矩阵的值：

$$\text{matrix\_val = psum[x2][y2] - psum[x1 - 1][y2] - psum[x2][y1 - 1] + psum[x1 - 1][y1 - 1]}$$

但是，该算法的复杂度仍然有 O ( N 2 ∗ M 2 ) O(N^2