2019 csp-s 解析及代码

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T1 格雷码

题目大意

格雷码是一种特殊的 $n$ 位二进制串表示方法，它要求相邻的两个二进制串之间恰好有一位不同，特别地，第一个串和最后一个串也算相邻。
现在给定一个 $n$ 和一个 $k$ ，要求你输出 $n$ 位格雷码中的第 $k$ 个。注意，所有格雷码的编号从 $0$ 开始。

输入格式

一行两个正整数 $n$ 和 $k$ ，含义如题中描述。

数据范围

对于所有测试数据， $1\le n\le 64$，$0\le k\le 2^n$。

思路

我们先将 $3$ 位和 $4$ 为格雷码依次列出来，如下图：
$3$ 位：

码 | 序号
000| 0
001| 1
011| 2
010| 3
110| 4
111| 5
101| 6
100| 7

$4$ 位：

码 | 序号
0000 | 0
0001 | 1
0011 | 2
0010 | 3
0110 | 4
0111 | 5
0101 | 6
0100 | 7
1000 | 8
1001 | 9
1011 | 10
1010 | 11
1110 | 12
1111 | 13
1101 | 14
1100 | 15

通过观察可以发现，对于 $n$ 位的格雷码，除了第 $n$ 位，其他位上都满足这样一个性质：

在第 $i$ 位上的区间 $[2^{i-1},2^n-2^{i-1}-1]$ 上，数字 $0$ 和 $1$ 以连续的 $2^i$ 个重复出现。 例如 $4$ 位格雷码的第 $2$ 位上：

0 | 0
0 | 1
1 | $2^{2-1}=2$
1 | 3
1 | 4
1 | 5
0 | 6
0 | 7
0 | 8
0 | 9
1 | 10
1 | 11
1 | 12
1 | $2^4-2^{2-1}-1=13$
0 | 14
0 | 15

同时我们可以发现，在除了上述区间以外的区域，所有位数上都是 $0$ 。（包括第 $n$ 位）

而对于第 $n$ 位，显然区间 $[0,2^{n-1}-1]$ 上都是 $0$ ，区间 $[2^{n-1},2^n-1]$ 上都是 $1$ 。

所以我们只需要枚举一遍 $n$ 位即可。

**注意：**当 $n=$