求n!中a^k的最大值算法-优快云博客

原博链接【代码来自于这篇博客】：https://blog.youkuaiyun.com/m0_37036984/article/details/79024534

证明链接【证明来自于这篇博客】：https://blog.youkuaiyun.com/jiangpengna/article/details/38690023

题目描述

给定n，a求最大的k，使n！可以被a^k整除但不能被a^(k+1)整除。

输入描述:

两个整数n(2<=n<=1000)，a(2<=a<=1000)

输出描述:

一个整数.

示例1

输入

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6 10

输出

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#include <stdio.h>  
bool a[1001];  
int b[1001];   
int size;  
void Init(){    
        size =0;    
        for(int i=2;i<=1000;i++){    
            if(a[i]==true) continue;  
            b[size++]=i;    
            if(a[i]==false){    
                for(int j=i*i;j<=1000;j+=i){    
                    a[j]=true;                  
                }    
            }    
        }            
} //求1~1000所有素数   
int cnt1[1001],cnt2[1001];    
int main(int argc, char *argv[])  
{  
    int n,a;  
    while(scanf("%d%d",&n,&a)==2){  
        Init();  
        for(int i=0;i<size;i++){  
            cnt1[i]=cnt2[i]=0;  
        }  
        for(int i=0;i<size;i++){  
            int t=n;  
            while(t){  
                cnt1[i]+=t/b[i];  
                t=t/b[i];  
            }  
        }//求n的素数 ，在n!中对应因子的个数   
        int ans=123123123;  //赋值为一个很大的数
        for(int i=0;i<size;i++){  
            while(a%b[i]==0){  
                cnt2[i]++;  
                a/=b[i];  
            }//求a分解素因数后，各个素数的个数   
            if(cnt2[i]==0) continue;  
            if(cnt1[i]/cnt2[i]<ans) ans=cnt1[i]/cnt2[i];   
        }  
        printf("%d\n",ans);  
    }  
    return 0;  
}

/*给定两个数m,n
求m!分解质因数后因子n的个数。
这道题涉及到了大数问题，如果相乘直接求的话会超出数据类型的范围。
下面给出一种效率比较高的算法，我们一步一步来。
m!=1*2*3*……*(m-2)*(m-1)*m
可以表示成所有和n倍数有关的乘积再乘以其他和n没有关系的
=(n*2n*3n*......*kn)*ohter other是不含n因子的数的乘积因为kn<=m 而k肯定是最大值所以k=m/n
=n^k*(1*2*......*k)*other
=n^k*k!*other
从这个表达式中可以提取出k个n，然后按照相同的方法循环下去可以求出k!中因子n的个数。
每次求出n的个数的和就是m!中因子n的总个数。*/