阶乘质因子分解(唯一分解定理)

阶乘质因子分解

题目描述:
对N!进行质因子分解。
输入输出格式:
输入格式:
输入数据仅有一行包含一个正整数N,N<=10000。
输出格式:
输出数据包含若干行,每行两个正整数p,a,中间用一个空格隔开。表示N!包含a个质因子p,要求按p的值从小到大输出。
输入输出样例
输入样例#1:
10
输出样例#1:
2 8
3 4
5 2
7 1
说明
10!=3628800=(2^8)(3^4)(5^2)*7

思路:
因为是n的阶乘:!n=1*2*3……*n所以枚举从1到n的每一个数,然后进行质因数分解。

#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=10010;
int n,num[maxn];
void dec(int x)
{
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
    while(x%i==0)
    num[i]++,x=x/i;
    if(x!=1) num[x]++;
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    dec(i);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    if(num[i])
    cout<<i<<" "<<num[i]<<endl;
    return 0;
}
n! 唯一分解定理代码通常涉及将阶乘结果按照质因数分解的形式表示出来。这种分解可以用于解决一些数学问题,例如计算组合、排列等。 ### 步骤解释 对于给定的 \( n \),\( n! = 1 \times 2 \times 3 \times ... \times n \) 的质因数分解步骤如下: 1. 找到所有小于等于 \( n \) 的素数。 2. 对于每个素数 \( p \),统计它在 \( n! \) 中作为因子出现了多少次。 - 使用公式: \[ \text{次数} = \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3} \right\rfloor + ... \] 直到 \( p^k > n \). ### 示例 Python 实现代码 ```python def prime_factors_of_factorial(n): def is_prime(num): # 判断是否为素数 if num < 2: return False for i in range(2, int(num**0.5)+1): if num % i == 0: return False return True primes = [i for i in range(2, n+1) if is_prime(i)] # 获取所有的素数列表 result = {} for p in primes: # 遍历每一个素数 count = 0 power = p while power <= n: count += n // power power *= p result[p] = count return result # 测试函数 n = 10 result = prime_factors_of_factorial(n) print(f"{n}! 的唯一分解形式为:") for key, value in result.items(): print(f"素数 {key}: 出现了 {value} 次") ``` 运行以上代码会输出类似如下的结果: ``` 10! 的唯一分解形式为: 素数 2: 出现了 8 次 素数 3: 出现了 4 次 素数 5: 出现了 2 次 素数 7: 出现了 1 次 ``` 这表明 \( 10! \) 可以表达成 \( 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7^1 \) 这样的形式。 ---
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