1267. 【分治算法】麦森数

2025黄锦豪

于 2025-01-04 21:03:22 发布

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分类专栏：分治算法文章标签：算法

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题目描述

形如2^P-1的素数称为麦森数，这时P一定也是个素数。但反过来不一定，即如果P是个素数，2^P-1不一定也是素数。到1998年底，人们已找到了37个麦森数。最大的一个是P=3021377，它有909526位。麦森数有许多重要应用，它与完全数密切相关。
任务：从文件中输入P（1000<P<3100000），计算2^P-1的位数和最后500位数字（用十进制高精度数表示）。

输入

只包含一个整数P（1000<P<3100000）。

输出

第一行：十进制高精度数2^P-1的位数；
第2-11行：十进制高精度数2^P-1的最后500位数字（每行输出50位，共输出10行，不足500位时高位补0）；
不必验证2^P-1与P是否为素数。

样例输入

样例输出

386
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000104079321946643990819252403273640855
38615262247266704805319112350403608059673360298012
23944173232418484242161395428100779138356624832346
49081399066056773207629241295093892203457731833496
61583550472959420547689811211693677147548478866962
50138443826029173234888531116082853841658502825560
46662248318909188018470682222031405210266984354887
32958028878050869736186900714720710555703168729087

这道题可以分为两个模块，第一个模块为求的位数，第二个模块为求的后500位（不足补零）。我们主要来解决第一个模块：

一、求位数

首先我们知道

与

有着相同的位数，因为2的次方满足了最后一位不为零的要求，所以减一后位数并不会改变，那么我们可以直接求

的位数。那么怎么求位数呢？我们不妨设

，根据

的位数为

，我们只要想办法把

中的底数2改为10，指数加一就是位数了。由此想到用10的几次方来代替2，那么就不难想到

，这样便可以把

中的2代换掉，变为

。根据乘方的原理，将p乘进去，原式便可化为我们最终想要的形式

了，所以位数就是

。（提醒一下，C++中cmath库自带log10()函数...）

二、求最后500位数

这个绝对难不倒大家，裸的高精快速幂，经过NOIP2017初赛的RP++后，相信很多人都已经会了快速幂了，所以我在这里不再赘述，只是提供一种相对较为简便的高精乘法（见程序）

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
int f[1001],p,res[1001],sav[1001];//乘法要开两倍长度
void result_1()
{
    memset(sav,0,sizeof(sav));
    for(register int i=1;i<=500;i+=1)
        for(register int j=1;j<=500;j+=1)
            sav[i+j-1]+=res[i]*f[j];//先计算每一位上的值（不进位）
    for(register int i=1;i<=500;i+=1)
    {
        sav[i+1]+=sav[i]/10;//单独处理进位问题，不容易出错
        sav[i]%=10;
    }
    memcpy(res,sav,sizeof(res));//cstring库里的赋值函数，把sav的值赋给res
}
void result_2()//只是在result_1的基础上进行了细微的修改
{
    memset(sav,0,sizeof(sav));
    for(register int i=1;i<=500;i+=1)
        for(register int j=1;j<=500;j+=1)
            sav[i+j-1]+=f[i]*f[j];
    for(register int i=1;i<=500;i+=1)
    {
        sav[i+1]+=sav[i]/10;
        sav[i]%=10;
    }
    memcpy(f,sav,sizeof(f));
}
int main()
{
    scanf("%d",&p);
    printf("%d\n",(int)(log10(2)*p+1));
    res[1]=1;
    f[1]=2;//高精度赋初值
    while(p!=0)//快速幂模板
    {
        if(p%2==1)result_1();
        p/=2;
        result_2();
    }
    res[1]-=1;
    for(register int i=500;i>=1;i-=1)//注意输出格式，50个换一行，第一个不用
        if(i!=500&&i%50==0)printf("\n%d",res[i]);
        else printf("%d",res[i]);
    return 0;
}