【金华集训】 分治笔记

基本原理：通过将区间分成两个区间，来将问题分成两个子问题。

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一些基本问题

一.求所有区间的最大值之和

• 对于一段区间$[l,r]$,我们找出他们的最大值的位置x，这个位置的贡献即为在$[l,r]$范围内通过x的一些区间。
• 这些区间的总个数即为$(x-l+1)\ast (r-x+1)$
• 通过乘法原理很容易得到
• 总的方案即为$a[x]\ast (x-l+1)\ast (r-l+1)$
• 区间可通过分治枚举得到
• 维护最大值用数据结构即可

二、区间统计：给定 a[1…n]，求有几个区间 [L,R] 满足 a[L] or a[L+1]…or a[R]>max(a[L…R])

• 这道题我们需要考虑$or$的性质
• 对于一个数x，x $or$ 一串数，它的数值肯定只增不减
• 我们考虑何时会增加
• 对于$xory$，将x和y二进制拆分，如果x的第i位与y的第i位不相等，那么很显然x的数值会增加
• 根据这个性质我们可以用一个数组P[i]表示二进制拆分后第i位是一的左边的数的下标的最大值，右边也是同样
• 每次找到一个最大值x，枚举x的二进制位数，当x的第i位是0时，就可以用数组来知道不与当前数为同一个子集的数的位置，统计方法仍然跟一类似

三、旅行者：给定一张 n*m 的带正权两格图，有 Q 组询问，每次询问两对点之间的最短路

• 这题似乎比较难，这里只能说一下大概的思路
• 对于每个网格矩阵，分治出较长边的中点，对于两边的点，距离可分为左边的点到mid的距离与mid的距离到右边的点的距离
• 基于这种操作，不断的进行分治就可以
• //具体细节我并没有实现。。这里只是一个上课的印象，大体的思路

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二分：二分其实是对答案分治

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CDQ分治：把 [L,R] 分成 [L,mid] 和 [mid+1,R]，考虑左边对右边的贡献。

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例题：

缺一背包问题：给定 n 个物品的重量 W[i] 和价值 V[i]，Q次询问，每次询问对除了第 i 个物品以外的物品 01 背包后重量不超过 S 的最大价值

• 考虑cdq分治，不断递归分治，先将左区间($[1..L-1]$)的数组传到右边区间($[R+1...n]$)，用左边数组的值做右边的值，这时不做中间递归到的区间，就相当于忽略了中间的数
• 不断递归，当递归到$（l==r）$时，就相当于时忽略了这么一个数，就可以预处理出解决了答案
• 也许吧，我也不怎么确定。。

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点分治：区间分治的复杂度保证是由于每次分成<=n/2的区间，树每次分成<=n/2的子树

点分治基本实现：一般解决树上的路径问题。为了实现稳定，每次找树的重心进行分治，将路径和分成经过根与不经过根的两条，如果不经过根，则可以继续递归变成经过跟的问题。具体问题具体实现

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时间分治：这是啥呀。。