41、带 k 次拒绝的呼叫控制问题研究

带 k 次拒绝的呼叫控制问题研究

1. 问题背景与相关算法概述

在呼叫控制问题中，我们关注如何在满足一定条件下处理请求，同时限制拒绝的请求数量。对于最大边不相交路径问题（MEDP）及其推广到任意边容量、带宽要求和请求关联利润值的不可拆分流问题，已经找到了比率为 $O(\sqrt{m})$ 的近似算法。这里需要注意的是，在我们定义的呼叫控制问题中，所有请求具有相同的带宽要求，这与不可拆分流问题有所不同。

Blum 等人研究了以拒绝请求数量为目标函数的 CallControlPre 问题的在线算法和近似算法。他们发现，在单位边容量的情况下，该问题是顶点覆盖问题的一个特殊情况。具体来说，他们给出了以下几种算法：
- 对于任意容量的链网络，给出了一个 2 - 竞争算法。
- 对于边容量有界为 $c$ 的任意网络，给出了一个 $(c + 1)$ - 竞争算法。
- 对于有 $m$ 条边且边容量任意的任意网络，给出了一个 $O(\sqrt{m})$ - 竞争算法。这些算法允许抢占（拒绝）之前已接受的请求。此外，他们还为任意图和任意边容量的情况给出了一个离线的 $O(\log m)$ 近似算法。

2. 一般网络中的 CallControlPre - k 问题

2.1 单位边容量情况

当网络的边容量为单位容量（即对于所有边 $e \in E$，$c(e) = 1$）时，一组接受的路径是可行的，当且仅当这些路径两两边不相交。给定一组路径 $P$，其冲突图 $H = (P, E’)$ 定义为：每个路径对应图中的一个顶点，若两条路径共享一条边，则对应的两个顶点之间有一条边。此时，任意可行子集 $A \subseteq P$