40、密集最近码字问题与呼叫控制问题的研究

密集最近码字问题与呼叫控制问题的研究

在计算机科学的算法研究领域，对于一些复杂问题的近似求解和参数化复杂度分析是重要的研究方向。本文将聚焦于密集最近码字问题（Nearest Codeword Problem）和呼叫控制问题（Call Control Problem），深入探讨它们的相关特性和解决算法。

1. 密集最近码字问题

在优化问题中，多项式时间近似方案（PTAS）是一个重要的概念。对于一个最小化问题，如果存在多项式时间近似算法，能对每个实例 $x$ 给出一个解 $y$，使得 $m(x, y) \leq (1 + \varepsilon)opt(x)$（对于任意常数 $\varepsilon > 0$，$opt(x)$ 为最优解的值），则该问题具有 PTAS。

1.1 问题定义

最近码字问题（Min - E3 - Lin2）的输入是一组布尔变量 $x_1, \ldots, x_n$ 的 $m$ 个方程，每个方程形式为 $x_{i1} \oplus x_{i2} \oplus x_{i3} = 0$ 或 $x_{i1} \oplus x_{i2} \oplus x_{i3} = 1$，目标是找到变量的赋值，使满足的方程数量最少。

如果对于每个变量 $x$，在每个实例中 $x$ 的总出现次数至少为 $\delta n^2$，则一组 Min - E3 - Lin2 实例是 $\delta$ - 密集的；若存在常数 $\delta$ 使一类实例是 $\delta$ - 密集的，则该类实例是密集的。

可以证明，密集 Min - E3 - Lin2 在精确求解时是 NP 难的。通过从 Min - E3 - Lin2 进