32、随机簇图模型的改进算法

随机簇图模型的改进算法

1. 基本概念与引理

在处理随机簇图模型的聚类问题时，有几个重要的概念和引理。首先，存在不等式 $|\varPhi(x)| \leq A\ln$，其中 $A$ 是一个绝对常数，$\varPhi(x)$ 表示标准正态 $(0, 1)$ 累积分布函数。

还有如下引理：
- 引理 1 ：设集合 $A$ 有 $n$ 个元素，集合 $B$ 是 $A$ 的子集且有 $k$ 个元素。设 $S’$ 是 $A$ 的随机子集，$S$ 是 $A - S’$ 中大小为 $s$ 的随机子集。那么对于任意 $a \geq 0$，有 $P\left[\left||B \cap S| - \frac{k}{n}s\right| \geq a\sqrt{\frac{3(k/n)s}{}}\right] \leq 6\sqrt{k}e^{-a^2}$。

在后续内容中，如果一个事件发生的概率是 $1 - n^{-\varOmega(1)}$，我们就说该事件以高概率（w.h.p.）发生。

2. 基本算法

设 $G = (V, E)$ 是一个簇图，记 $A_i = |V_i|$，$a_i = \frac{|V_i|}{n}$，$\varGamma = \max_i \left|\frac{|V_i|}{n} - \frac{1}{m}\right|$。如果集合 $S \subseteq V$ 满足 $S \subseteq V_i$（对于某个簇 $V_i$），则称 $S$ 为子簇。如果对于所有的 $i$，要么 $V_i \subseteq S$ 要么 $V_i \subseteq V - S$，则诱导子图