4、几何估计优化技术：超越最小化

几何估计优化技术：超越最小化

在计算机视觉领域，从有噪声的观测中进行最优几何估计是一项至关重要的任务。本文将详细介绍几何估计的相关技术，包括基本概念、最小化方法等内容。

1. 引言

计算机视觉的一个重要任务是利用几何约束来计算物体的二维和三维形状。几何约束是指可以用相对简单的方程描述的性质，例如物体是直线或平面、它们相互平行或正交，以及相机成像几何是透视投影等。基于这些几何约束的推理被称为几何估计。但在存在噪声的情况下，这些假设的约束并不完全成立。自20世纪80年代以来，许多研究人员为了在噪声存在的情况下“最优地”进行几何估计付出了很多努力。

2. 预备知识

2.1 几何估计的定义

我们考虑的几何估计问题定义如下：观察到某个量 $x$（向量），假设在无噪声的情况下它满足方程 $F(x; θ) = 0$，其中 $θ$ 是未知向量参数，这个方程称为几何约束。我们的任务是从有噪声的实例 $x_α$（$α = 1, …, N$）中估计参数 $θ$。许多计算机视觉问题都可以用这种方式表述，通过估计的 $θ$ 可以计算出我们观察的物体的位置、形状和运动。

在很多问题中，可以对问题进行重新参数化，使约束在参数 $θ$ 上是线性的（但在数据 $x$ 上通常是非线性的），此时方程变为 $(ξ(x), θ) = 0$，其中 $ξ(x)$ 是 $x$ 的向量值非线性函数。由于该方程意味着 $θ$ 的尺度是不确定的，所以我们将 $θ$ 归一化为单位范数，即 $∥θ∥ = 1$。

以下是几个具体例子：
- 直线拟合 ：对于给定的点序列 $(x_α, y_α)$（$α =