11、算术编码：原理、实现与应用

算术编码：原理、实现与应用

1. 引言

在数据压缩领域，霍夫曼编码是一种简单而高效的方法，能为单个数据符号生成优秀的编码。然而，它存在一定的局限性，仅当符号出现的概率为 2 的负幂（如 1/2、1/4 或 1/8）时，才能产生理想的可变长度编码（即平均编码长度等于熵）。这是因为霍夫曼编码为字母表中的每个符号分配的是整数位的编码。而算术编码则克服了这一问题，它为整个输入文件分配一个（通常较长）的编码。

2. 算术编码基础

算术编码的核心思想是从一个特定的区间开始，逐个读取输入文件中的符号，并利用每个符号的概率来缩小这个区间。区间越窄，所需的位数就越多，因此算法构建的数字会不断增长。为了实现压缩，算法设计使得高概率符号比低概率符号对区间的缩小程度更小，从而使高概率符号对输出的位数贡献更少。

区间可以通过其上下限或一个界限和宽度来指定。例如，区间 [0, 1] 可以用两个 1 位数字 0 和 1 表示；区间 [0.1, 0.512] 则需要更长的数字 0.1 和 0.412 来表示；而非常窄的区间 [0.12575, 0.1257586] 则需要长数字 0.12575 和 0.0000086 来指定。

算术编码的主要步骤可以总结为以下规则：
1. 首先将“当前区间”定义为 [0, 1)。
2. 对输入流中的每个符号 s 重复以下两个步骤：
- 将当前区间划分为大小与符号概率成比例的子区间。
- 选择符号 s 对应的子区间，并将其定义为新的当前区间。
3. 当整个输入流都以这种方式处理完毕后，输出应该是能唯一标识当前区间的任意数字（即当前区间内的任意数字）。

下面通过几个具体