【C++ 基础数论】最大公约数 & 最小公倍数

最大公约数

约数：如果 a 可以整除 b，则 a 为 b 的约数，$\frac{b}{a}$ 也是 b 的约数，约数也叫因数。

试除法求约数

我们可以用上一章讲到的判断质数的方法，这里只需要判断能否整除，非常简单

参考上一篇文章质数判断

代码如下:

for(int i = 1; i <= n/i; i++){
	if(n % i == 0) cout<<i<<" "<<n/i<<endl;//i 与 n/i 都是因数
}

欧几里得算法(辗转相除法)

两个数的最大公约数简写为 gcd(a, b)，即两个数的公共因数中最大的那个数。

那么如何求两个数的最大公约数呢 ?
这种算法的核心内容是 gcd(a, b) = gcd(b, a%b)

算法步骤

给定两非负整数 a, b (不得同时为0)，重复以下操作：

1. 用 a 除以 b , 得到余数 r
2. 将 a 替换为 b , b 替换为 r

当某次余数 r = 0 时, 此时的 a 即为原两数的最大公约数

证明

GCD不变性

假设 d 为 a, b 的公约数，存在唯一的一个 商q 与 余数r

使
$$a=b\ast q+r$$

设
$$a=k_1\ast d$$$$b=k_2\ast d$$

有
$$d\ast k_1=(d\ast k_2)\ast q+r$$
整理后
$$r=d\ast (k_1-k_2\ast q)$$

所以 d 必须能整除 a, b, 同时也能整除余数 r ;

反过来，若 d = gcd(b , r), 则 d 也能整除 a

因此，gcd(a, b) = gcd(b, r), 每一步替换后, GCD保持不变

严格递减性

由于每次计算的 r 满足 0 $\le$ r < b, 余数严格递减, 最终必然在有限步内达到 r = 0

终止条件

当余数 r = 0 时, gcd(a, 0) = a，此时 a 即为原两数的GCD

代码

int gcd(int a, int b){
	if(b == 0) return a;
	return gcd(b, a%b);
}

最小公倍数（ lcm(A, B) ）

公式

$$lcm(A,B)=(A\ast B)/gcd(A,B)$$

证明

对于两个数 A, B，我们设 $A=a\ast k$, $B=b\ast k$ （k 为 gcd(A, B) ）

因为 $$A\ast B=A\ast B$$
带入, 得：
$$A\ast (b\ast k)=(a\ast k)\ast B$$

化简：
$$A\ast b=a\ast B$$

等式两边就是我们要找的 lcm(A, B)

易推得 $$lcm(A,B)=(A\ast B)/gcd(A,B)$$

代码很简单， 这里就不放了