【C++ 基础数论】质数判断

质数判断

质数：对于所有大于 1 的自然数而言，如果该数除 1 和自身以外没有其它因数 / 约数，则该数被称为为质数，质数也叫素数。

如何判定一个数是否为质数呢？

一个简单的方法是 试除法 ： 对于一个数 n， 可以枚举 [ 2, n-1 ] 区间内所有数，去尝试整除 n，如果在区间内存在一个数能将 n 整除，则 n 不是质数。

还要注意一个点 ： 最小的质数是 2，小于 1 的数不是质数。

所以，代码如下：

bool isPrime(int n){
	if(n <= 1) return false;
	for(int i = 2; i < n; i++){
		if(n % i == 0) return false;
	}
	return true;
}

那么上述代码还能优化吗？答案是 可以 。

如果按照上面的代码运行的话，对于一个数，我们将它所有的约数全都枚举了一遍，到底有没有必要呢？

下面举个例子： 例如12，显然12不是质数， 它的因数有1、2、3、4、6、12，我们可以发现他的因数是成对出现的，(1, 12)、(2, 6)、(3, 4)，那我们能不能只枚举小的那一个因数呢，这样就算是一个质数，当我们枚举一直到 $\sqrt{n}$ ，我们发现没有符合条件的因子时就不用再向下枚举了，因为一个合数的因子都是成对出现的。

所以 for 循环中的条件可以写成这样 :

i $\le$ $\sqrt{n}$

但是一个数的平方根不一定是一个整数，所以我们还可以这样写：

i $\ast$ i $\le$ n

有的时候，当 n 很大的时候， i$\ast$i 有可能会超内存，可以改为 :

i $\le$ n / i

当然还有一点很重要，不要忘了 4、9、16、25 等等这种是一个数平方的要特别注意

最终代码

bool isPrime(int n){
	if(n <= 1) return false;
	for(int i = 2; i <= n/i; i++){
		if(n % i == 0) return false;
	}
	return true;
}