卡特兰数总结

卡特兰数的经典问题是进栈出栈问题，可以进行2n个操作，问最后栈为空的合法的操作方案数。
比如说 n = 2, 可以进行的合法操作方案如下（进为1，出为-1）：
1 -1 1 -1、 1 1 -1 -1 总方案为2
我们考虑用总方案数减去不合法的方案数，总方案数就是C(2n,n)，
不合法的方案数怎么算呢？
假设我们这时进行了第2k+1个操作，已经有k+1个操作是出栈，此时明显不合法，后面还有（n-k-1）个出栈操作，有（n-k+1）个进栈操作，我们把他们交换一下，最后会得到（n+1）个出栈操作和（n-1）个进栈操作，这是一定不合法的方案，对于每个不合法的方案我们都能构造出这样的（n+1）个出栈操作，同理，对于每（n+1）个出栈操作，我们一定能对应一个不合法的方案，所以总的不合法方案就为C（2n,n+1），所以合法方案就是：
C（2n,n）- C(2n,n+1) = C（2n,n）/(n+1)
这就是卡特兰数通项公式。
我们可以从通项公式推出递推式：
F(n) = F(n-1) * (4n-2)/(n+1)
其实对于这类问题还有另外一个递推公式，
设第k个操作为使栈为空的操作，那么前面一共有（k-1）个元素出栈了，有F（k-1）种方案，剩下的有F（n-k）种方案，由乘法原理，一共有F（k-1）*F（n-k）种方案，我们枚举k再求和即得总方案数
所以

$$F(n) = \sum_{i=1}^n F(i-1)*F(n-i)$$

这类问题还有经典的如n个相同结点能组成多少棵不同的二叉树？
我们可以固定一个根节点， 给左边分配（i）个结点， 给右边分配（n-i-1）个结点，所以我们有：

$$F(n) = \sum_{i=0}^{n-1} F(i)*F(n-i-1)$$

一个圆上有2n个点，问两两相连形成的线段不相交的方案数
我们可以把他们分为上下两部分， 设此时相连的是第i号点，左边有（i-1）个，右边有（n-i-1）个点
所以我们有：

$$F(n) = \sum_{i=0}^{n-1} F(i)*F(n-i-1)$$