张宇1000题线性代数 第八章 相似理论

$B$组

5.设实矩阵$\mathbf{A}$为$3$阶正交矩阵，其元素$a_{22}=1$，又$3$维列向量$\mathbf{\alpha }=[0,3,0{]}^{\mathrm{T}}$，则${\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{\alpha }=$______。

解  记$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& A_{13}\\ a_{21}& 1& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$，由于$\mathbf{A}$为正交矩阵，故其每一行向量、每一列向量均为单位向量，于是有$a_{12}^2+1^2+a_{32}^2=1,a_{21}^2+1^2+a_{23}^2=1$，即有$a_{12}=a_{32}=a_{21}=a_{23}=0$。
  又由正交矩阵的定义，${\mathbf{A}\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}=\mathbf{E}$，有${\mathbf{A}}^{-1}={\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$，故${\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{\alpha }={\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& 0& a_{31}\\ 0& 1& 0\\ a_{13}& 0& a_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right]$。（这道题主要利用了正交矩阵的定义求解）

11.设$\mathbf{A}=\mathbf{E}+{\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}$，其中$\mathbf{\alpha }=[a_1,a_2,\cdots ,a_n{]}^{\mathrm{T}}\ne 0,\mathbf{\beta }=[b_1,b_2,\cdots ,b_n{]}^{\mathrm{T}}\ne 0$，且${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\beta }=2$。

（1）求$\mathbf{A}$的特征值和特征向量；

解  设
$$(\mathbf{E}+{\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}})\mathbf{\xi }=\lambda \mathbf{\xi }.\text{\hspace{1em}(1)}$$
  $(1)$式两端左乘${\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}$，得${\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}(\mathbf{E}+{\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}})\mathbf{\xi }=({\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}})\mathbf{\xi }=(1+{\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }){\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\xi }=\lambda {\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\xi }$。
  若${\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\xi }\ne 0$，则$\lambda =1+{\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }=3$；若${\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\xi }=0$，则由$(1)$式，得$\lambda =1$。
  当$\lambda =1$时，$(\mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{x}=-{\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}=-\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right][b_1,b_2,\cdots ,b_n]\mathbf{x}=0$，即$[b_1,b_2,\cdots ,b_n]\mathbf{x}=0$，因$\mathbf{\alpha }\ne 0,\mathbf{\beta }\ne 0$，设$b_1\ne 0$，则${\mathbf{\xi }}_1=[b_2,-b_1,0,\cdots ,0{]}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\xi }}_2=[b_3,0,-b_1,\cdots ,0{]}^{\mathrm{T}},\cdots ,{\mathbf{\xi }}_{n-1}=[b_n,0,0,\cdots ,-b_1{]}^{\mathrm{T}}$；故属于$\lambda =1$特征值的全体特征向量为$k_1{\mathbf{\xi }}_1+k_2{\mathbf{\xi }}_2+\cdots +k_{n-1}{\mathbf{\xi }}_{n-1}$，其中$k_1,k_2,\cdots ,k_{n-1}$为不全为零的任意常数。
  当$\lambda =3$时，$(3\mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{x}=(2\mathbf{E}-{\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}})\mathbf{x}=0,{\mathbf{\xi }}_n=\mathbf{\alpha }=[a_1,a_2,\cdots ,a_n$