例题十七
例17.4 计算三重积分 I = ∭ Ω ( x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 ) d x d y d z I=\displaystyle\iiint\limits_{\Omega}\left(\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}+\cfrac{z^2}{c^2}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z I=Ω∭(a2x2+b2y2+c2z2)dxdydz，其中 Ω \Omega Ω是椭球体 x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 ⩽ 1 \cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}+\cfrac{z^2}{c^2}\leqslant1 a2x2+b2y2+c2z2⩽1。
解 由于
I = ∭ Ω x 2 a 2 d x d y d z + ∭ Ω y 2 b 2 d x d y d z + ∭ Ω z 2 c 2 d x d y d z , I=\displaystyle\iiint\limits_{\Omega}\cfrac{x^2}{a^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\displaystyle\iiint\limits_{\Omega}\cfrac{y^2}{b^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\displaystyle\iiint\limits_{\Omega}\cfrac{z^2}{c^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z, I=Ω∭a2x2dxdydz+
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