李永乐数学基础过关660题概率论填空题

450.设随机变量$X$与$Y$相互独立，且均服从正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 P { max ⁡ ( X , Y ) > μ } − P { min ⁡ ( X , Y ) < μ } = P\{\max(X,Y)>\mu\}-P\{\min(X,Y)<\mu\}= P{max(X,Y)>μ}−P{min(X,Y)<μ}=______.

解
P { max ⁡ ( X , Y ) > μ } − P { min ⁡ ( X , Y ) < μ } = 1 − P { max ⁡ ( X , Y ) ⩽ μ } − [ 1 − P { min ⁡ ( X , Y ) ⩽ μ } ] = − P { max ⁡ ( X , Y ) ⩽ μ } + P { min ⁡ ( X , Y ) ⩽ μ } = − P { X ⩽ μ , Y ⩽ μ } + P { X ⩾ μ , Y ⩾ μ } = − P { X ⩽ μ } P { Y ⩽ μ } + P { X ⩾ μ } P { Y ⩾ μ } = 0. \begin{aligned} &P\{\max(X,Y)>\mu\}-P\{\min(X,Y)<\mu\}\\ &=1-P\{\max(X,Y)\leqslant\mu\}-[1-P\{\min(X,Y)\leqslant\mu\}]\\ &=-P\{\max(X,Y)\leqslant\mu\}+P\{\min(X,Y)\leqslant\mu\}\\ &=-P\{X\leqslant\mu,Y\leqslant\mu\}+P\{X\geqslant\mu,Y\geqslant\mu\}\\ &=-P\{X\leqslant\mu\}P\{Y\leqslant\mu\}+P\{X\geqslant\mu\}P\{Y\geqslant\mu\}=0. \end{aligned} ​P{max(X,Y)>μ}−P{min(X,Y)<μ}=1−P{max(X,Y)⩽μ}−[1−P{min(X,Y)⩽μ}]=−P{max(X,Y)⩽μ}+P{min(X,Y)⩽μ}=−P{X⩽μ,Y⩽μ}+P{X⩾μ,Y⩾μ}=−P{X⩽μ}P{Y⩽μ}+P{X⩾μ}P{Y⩾μ}=0.​
（这道题主要利用了概率的变换求解）

457.已知随机变量$X_1,X_2$相互独立，且都服从正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$，（$\sigma >0$）则$D(X_1{X}_2)=$______.

解
$$\begin{array}{rl}D(X_1{X}_2)& =E(X_1{X}_2{)}^2-[E(X_1{X}_2){]}^2=E(X_1^2{X}_2^2)-[E(X_1)E(X_2){]}^2\\ & =({\sigma }^2+{\mu }^2{)}^2-{\mu }^4={\sigma }^2({\sigma }^2+2{\mu }^2).\end{array}$$
（这道题主要利用了已知量的代换求解）

459.相互独立的随机变量$X_1,X_2,\cdots ,X_n$具有相同的方差${\sigma }^2>0$，记$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$，则$D(X_i-\overline{X})=$______.

解
$$\begin{array}{rl}D(X_i-\overline{X})& =D\left(X_1-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\right)=D\left(\frac{n-1}{n}{X}_1-\frac{1}{n}\sum _{i=2}^n{X}_i\right)\\ & =\frac{(n-1{)}^2}{n^2}D(X_1)+\frac{1}{n^2}\sum _{i=2}^{n}D(X_i)=\frac{n-1}{n}{\sigma }^2.\end{array}$$
（这道题主要利用了统计量与估计量的关系求解）

466.设随机变量$X_1,X_2,\cdots ,X_n(n>1)$独立同分布，且方差为${\sigma }^2>0$，记$Y_1=\sum _{i=2}^n{X}_i$和$Y_n=\sum _{j=1}^{n-1}{X}_j$，则$Y_1$和$Y_n$的协方差$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(Y_1,Y_n)=$______.

解
$$\begin{array}{rl}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(Y_1,Y_n)& =\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(\sum _{i=2}^n{X}_i,\sum _{j=1}^{n-1}{X}_j)=\sum _{i=2}^n\sum _{j=1}^{n-1}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X_i,X_j)\\ & =\sum _{j=1}^{n-1}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X_n,X_j)+\sum _{i=2}^{n-1}\sum _{j=2}^{n-1}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X_i,X_j)+\sum _{i=2}^n\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X_i,X_1)\\ & =\sum _{k=2}^{n-1}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X_k,X_k)=(n-2){\sigma }^2.\end{array}$$
（这道题主要利用了协方差的性质求解）

470.设相互独立的随机变量$X_1,X_2,\cdots ,X_n$均服从标准正态分布，记$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$，则随机变量$X_1-\overline{X}$服从的分布及参数为______.

解
$$X_1-\overline{X}=X_1-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i=X_1-\frac{1}{n}{X}_1-\frac{1}{n}\sum _{i=2}^n{X}_i=\frac{n-1}{n}{X}_1-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i.$$
  所以$X_1-\overline{X}$是相互独立的$n$个标准正态分布随机变量的线性组合，$X_1-\overline{X}$必服从正态分布$N(\ast ,\ast )$。
$$\begin{gathered} E(X_1-\overline{X})=\frac{n-1}{n}E(X_1)-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}E(X_i)=0, \\ D(X_1-\overline{X})=\frac{(n-1{)}^2}{n^2}D(X_1)-\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^{n}D(X_i)=\frac{(n-1{)}^2}{n^2}+\frac{n-1}{n^2}=\frac{n^2-n}{n^2}, \\ {X}_1-\overline{X}\sim N\left(0,\frac{n-1}{n}\right). \end{gathered}$$
（这道题主要利用了正态分布的性质求解）

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