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- 362.设
A
,
B
\bm{A},\bm{B}
A,B均阶矩阵，且
A
B
=
A
+
B
\bm{AB}=\bm{A}+\bm{B}
AB=A+B，则
( 1 ) (1) (1)若 A \bm{A} A可逆，则 B \bm{B} B可逆；
( 2 ) (2) (2)若 B \bm{B} B可逆，则 A + B \bm{A}+\bm{B} A+B可逆；
( 3 ) (3) (3)若 B \bm{B} B可逆，则 A \bm{A} A可逆；
( 4 ) (4) (4) A − E \bm{A}-\bm{E} A−E恒可逆。
上述命题中，正确的命题共有
( A ) 1 (A)1 (A)1个；
( B ) 2 (B)2 (B)2个；
( C ) 3 (C)3 (C)3个；
( D ) 4 (D)4 (D)4个。 - 372.设
A
\bm{A}
A为三阶可逆矩阵，将
A
\bm{A}
A的第
1
1
1行乘以
−
2
-2
−2得到矩阵
B
\bm{B}
B，则
( A ) A − 1 (A)\bm{A}^{-1} (A)A−1的第 1 1 1行乘以 − 2 -2 −2得到矩阵 B − 1 \bm{B}^{-1} B−1；
( B ) A − 1 (B)\bm{A}^{-1} (B)A−1的第一列乘以 − 1 2 -\cfrac{1}{2} −21得到矩阵 B − 1 \bm{B}^{-1} B−1；
( C ) A − 1 (C)\bm{A}^{-1} (C)A−1的第 1 1 1行乘以 2 2 2得到矩阵 B − 1 \bm{B}^{-1} B−1；
( D ) A − 1 (D)\bm{A}^{-1} (D)A−1的第一列乘以 1 2 \cfrac{1}{2} 21得到矩阵 B − 1 \bm{B}^{-1} B−1。 - 375.设
A
,
B
\bm{A},\bm{B}
A,B都是四阶非零矩阵，且
A
B
=
O
\bm{AB}=\bm{O}
AB=O，则必有
( A ) (A) (A)若 r ( A ) = 1 r(\bm{A})=1 r(A)=1，则 r ( B ) = 3 r(\bm{B})=3 r(B)=3；
( B ) (B) (B)若 r ( A ) = 2 r(\bm{A})=2 r(A)=2，则 r ( B ) = 2 r(\bm{B})=2 r(B)=2；
( C ) (C) (C)若 r ( A ) = 3 r(\bm{A})=3 r(A)=3，则 r ( B ) = 1 r(\bm{B})=1 r(B)=1；
( D ) (D) (D)若 r ( A ) = 4 r(\bm{A})=4 r(A)=4，则 r ( B ) = 1 r(\bm{B})=1 r(B)=1。 - 404.设
A
\bm{A}
A是
m
×
n
m\times n
m×n矩阵，
A
T
\bm{A}^{\mathrm{T}}
AT是
A
\bm{A}
A的转置，若
η
1
,
η
2
,
⋯
,
η
t
\bm{\eta}_1,\bm{\eta}_2,\cdots,\bm{\eta}_t
η1,η2,⋯,ηt是齐次方程组
A
T
x
=
0
\bm{A}^{\mathrm{T}}\bm{x}=\bm{0}
ATx=0的基础解系，则秩
r
(
A
)
=
r(\bm{A})=
r(A)=
( A ) t ; (A)t; (A)t;
( B ) n − t ; (B)n-t; (B)n−t;
( C ) m − t ; (C)m-t; (C)m−t;
( D ) n − m . (D)n-m. (D)n−m. - 417.下列矩阵中，不能相似对角化的是
( A ) ( 1 0 0 2 3 0 1 2 2 ) ; (A)\begin{pmatrix}1&0&0\\2&3&0\\1&2&2\end{pmatrix}; (A)⎝⎛121032002⎠⎞;
( B ) ( 1 2 3 0 1 2 0 0 − 1 ) ; (B)\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&-1\end{pmatrix}; (B)⎝⎛10021032−1⎠⎞;
( C ) ( 1 0 0 0 1 0 3 2 − 1 ) ; (C)\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\3&2&-1\end{pmatrix}; (C)⎝⎛10301200−1⎠⎞;
( D ) ( 1 2 3 2 0 1 3 1 1 ) . (D)\begin{pmatrix}1&2&3\\2&0&1\\3&1&1\end{pmatrix}. (D)⎝⎛123201311⎠⎞.
- 362.设
A
,
B
\bm{A},\bm{B}
A,B均阶矩阵，且
A
B
=
A
+
B
\bm{AB}=\bm{A}+\bm{B}
AB=A+B，则
- 写在最后
362.设
A
,
B
\bm{A},\bm{B}
A,B均阶矩阵，且
A
B
=
A
+
B
\bm{AB}=\bm{A}+\bm{B}
AB=A+B，则
(
1
)
(1)
(1)若
A
\bm{A}
A可逆，则
B
\bm{B}
B可逆；
(
2
)
(2)
(2)若
B
\bm{B}
B可逆，则
A
+
B
\bm{A}+\bm{B}
A+B可逆；
(
3
)
(3)
(3)若
B
\bm{B}
B可逆，则
A
\bm{A}
A可逆；
(
4
)
(4)
(4)
A
−
E
\bm{A}-\bm{E}
A−E恒可逆。
上述命题中，正确的命题共有
(
A
)
1
(A)1
(A)1个；
(
B
)
2
(B)2
(B)2个；
(
C
)
3
(C)3
(C)3个；
(
D
)
4
(D)4
(D)4个。
解 由
A
B
=
A
+
B
\bm{AB}=\bm{A}+\bm{B}
AB=A+B有
(
A
−
E
)
B
=
A
(\bm{A}-\bm{E})\bm{B}=\bm{A}
(A−E)B=A。若
A
\bm{A}
A可逆，则
∣
A
−
E
∣
⋅
∣
B
∣
=
∣
A
∣
≠
0
|\bm{A}-\bm{E}|\cdot|\bm{B}|=|\bm{A}|\ne0
∣A−E∣⋅∣B∣=∣A∣=0，故
∣
B
∣
≠
0
|\bm{B}|\ne0
∣B∣=0，即矩阵
B
\bm{B}
B可逆，从而命题
(
1
)
(1)
(1)正确。同理可得，命题
(
3
)
(3)
(3)正确。
由
B
\bm{B}
B可逆得
A
\bm{A}
A可逆，从而
A
B
\bm{AB}
AB可逆，那么
A
B
=
A
+
B
\bm{AB}=\bm{A}+\bm{B}
AB=A+B可逆，命题
(
2
)
(2)
(2)正确。
用因式分解得
A
B
−
A
−
B
+
E
=
E
\bm{AB}-\bm{A}-\bm{B}+\bm{E}=\bm{E}
AB−A−B+E=E，即有
(
A
−
E
)
(
B
−
E
)
=
E
(\bm{A}-\bm{E})(\bm{B}-\bm{E})=\bm{E}
(A−E)(B−E)=E，所以
A
−
E
\bm{A}-\bm{E}
A−E恒可逆，命题
(
4
)
(4)
(4)正确。故应选
(
D
)
(D)
(D)。（这道题主要利用了矩阵方程的变换求解）
372.设
A
\bm{A}
A为三阶可逆矩阵，将
A
\bm{A}
A的第
1
1
1行乘以
−
2
-2
−2得到矩阵
B
\bm{B}
B，则
(
A
)
A
−
1
(A)\bm{A}^{-1}
(A)A−1的第
1
1
1行乘以
−
2
-2
−2得到矩阵
B
−
1
\bm{B}^{-1}
B−1；
(
B
)
A
−
1
(B)\bm{A}^{-1}
(B)A−1的第一列乘以
−
1
2
-\cfrac{1}{2}
−21得到矩阵
B
−
1
\bm{B}^{-1}
B−1；
(
C
)
A
−
1
(C)\bm{A}^{-1}
(C)A−1的第
1
1
1行乘以
2
2
2得到矩阵
B
−
1
\bm{B}^{-1}
B−1；
(
D
)
A
−
1
(D)\bm{A}^{-1}
(D)A−1的第一列乘以
1
2
\cfrac{1}{2}
21得到矩阵
B
−
1
\bm{B}^{-1}
B−1。
解 由已知条件，有
[
−
2
1
1
]
A
=
B
\begin{bmatrix} -2&&\\&1&\\&&1 \end{bmatrix}\bm{A}=\bm{B}
⎣⎡−211⎦⎤A=B
那么
B
−
1
=
(
[
−
2
1
1
]
A
)
−
1
=
A
−
1
[
−
2
1
1
]
−
1
=
A
−
1
[
−
1
2
1
1
]
\bm{B}^{-1}=\left(\begin{bmatrix} -2&&\\&1&\\&&1 \end{bmatrix}\bm{A}\right)^{-1}=\bm{A}^{-1}\begin{bmatrix} -2&&\\&1&\\&&1 \end{bmatrix}^{-1}=\bm{A}^{-1}\begin{bmatrix} -\cfrac{1}{2}&&\\&1&\\&&1 \end{bmatrix}
B−1=⎝⎛⎣⎡−211⎦⎤A⎠⎞−1=A−1⎣⎡−211⎦⎤−1=A−1⎣⎢⎢⎡−2111⎦⎥⎥⎤
所以
A
−
1
\bm{A}^{-1}
A−1的第一列乘以
−
1
2
-\cfrac{1}{2}
−21得矩阵
B
−
1
\bm{B}^{-1}
B−1。故应选
(
B
)
(B)
(B)。（这道题主要利用了逆矩阵乘法求解）
375.设
A
,
B
\bm{A},\bm{B}
A,B都是四阶非零矩阵，且
A
B
=
O
\bm{AB}=\bm{O}
AB=O，则必有
(
A
)
(A)
(A)若
r
(
A
)
=
1
r(\bm{A})=1
r(A)=1，则
r
(
B
)
=
3
r(\bm{B})=3
r(B)=3；
(
B
)
(B)
(B)若
r
(
A
)
=
2
r(\bm{A})=2
r(A)=2，则
r
(
B
)
=
2
r(\bm{B})=2
r(B)=2；
(
C
)
(C)
(C)若
r
(
A
)
=
3
r(\bm{A})=3
r(A)=3，则
r
(
B
)
=
1
r(\bm{B})=1
r(B)=1；
(
D
)
(D)
(D)若
r
(
A
)
=
4
r(\bm{A})=4
r(A)=4，则
r
(
B
)
=
1
r(\bm{B})=1
r(B)=1。
解 因为 A , B \bm{A},\bm{B} A,B均四阶非零矩阵，那么 1 ⩽ r ( A ) ⩽ 4 , 1 ⩽ r ( B ) ⩽ 4 1\leqslant r(\bm{A})\leqslant4,1\leqslant r(\bm{B})\leqslant4 1⩽r(A)⩽4,1⩽r(B)⩽4。又 A B = O \bm{AB}=\bm{O} AB=O，有 r ( A ) + r ( B ) ⩽ 4 r(\bm{A})+r(\bm{B})\leqslant4 r(A)+r(B)⩽4。所以当 r ( A ) = 3 r(\bm{A})=3 r(A)=3时，必有 r ( B ) = 1 r(\bm{B})=1 r(B)=1，即应选 ( C ) (C) (C)。（这道题主要利用了矩阵秩的性质求解）
404.设
A
\bm{A}
A是
m
×
n
m\times n
m×n矩阵，
A
T
\bm{A}^{\mathrm{T}}
AT是
A
\bm{A}
A的转置，若
η
1
,
η
2
,
⋯
,
η
t
\bm{\eta}_1,\bm{\eta}_2,\cdots,\bm{\eta}_t
η1,η2,⋯,ηt是齐次方程组
A
T
x
=
0
\bm{A}^{\mathrm{T}}\bm{x}=\bm{0}
ATx=0的基础解系，则秩
r
(
A
)
=
r(\bm{A})=
r(A)=
(
A
)
t
;
(A)t;
(A)t;
(
B
)
n
−
t
;
(B)n-t;
(B)n−t;
(
C
)
m
−
t
;
(C)m-t;
(C)m−t;
(
D
)
n
−
m
.
(D)n-m.
(D)n−m.
解 由于
A
\bm{A}
A是
m
×
n
m\times n
m×n矩阵，知
A
T
\bm{A}^{\mathrm{T}}
AT是
n
×
m
n\times m
n×m矩阵，那么
A
T
x
=
0
\bm{A}^{\mathrm{T}}\bm{x}=\bm{0}
ATx=0是
n
n
n个方程
m
m
m个未知数的齐次线性方程组，从而
m
−
r
(
A
T
)
=
t
m-r(\bm{A}^{\mathrm{T}})=t
m−r(AT)=t。
又因
r
(
A
)
=
r
(
A
T
)
r(\bm{A})=r(\bm{A}^{\mathrm{T}})
r(A)=r(AT)，所以
r
(
A
)
=
m
−
t
r(\bm{A})=m-t
r(A)=m−t，即应当选
(
C
)
(C)
(C)。（这道题主要利用了转置矩阵的性质求解）
417.下列矩阵中，不能相似对角化的是
(
A
)
(
1
0
0
2
3
0
1
2
2
)
;
(A)\begin{pmatrix}1&0&0\\2&3&0\\1&2&2\end{pmatrix};
(A)⎝⎛121032002⎠⎞;
(
B
)
(
1
2
3
0
1
2
0
0
−
1
)
;
(B)\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&-1\end{pmatrix};
(B)⎝⎛10021032−1⎠⎞;
(
C
)
(
1
0
0
0
1
0
3
2
−
1
)
;
(C)\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\3&2&-1\end{pmatrix};
(C)⎝⎛10301200−1⎠⎞;
(
D
)
(
1
2
3
2
0
1
3
1
1
)
.
(D)\begin{pmatrix}1&2&3\\2&0&1\\3&1&1\end{pmatrix}.
(D)⎝⎛123201311⎠⎞.
解 对于选项
(
B
)
(B)
(B)，
E
−
B
=
(
0
2
3
0
0
2
0
0
2
)
\bm{E}-\bm{B}=\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&2\\0&0&2\end{pmatrix}
E−B=⎝⎛000200322⎠⎞
即齐次方程组
(
E
−
B
)
x
=
0
(\bm{E}-\bm{B})\bm{x}=\bm{0}
(E−B)x=0只有
1
1
1个线性无关的解，亦
λ
=
1
\lambda=1
λ=1只有
1
1
1个线性无关的特征向量，所以
B
\bm{B}
B不能对角化。（这道题主要利用了对角化的判定求解）
写在最后
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