第二章 导数与微分

  微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数与微分。
  本章中，我们主要讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法。——高等数学同济版

习题2-1 导数概念

  本节重点介绍导数的基本概念及相关证明。

7.设$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{3}{x}^3,& x⩽1,\\ x^2,& x>1,\end{array}$$则$f(x)$在$x=1$处的（    ）。

（A）左、右导数都存在
（B）左导数存在，右导数不存在
（C）左导数不存在，右导数存在
（D）左、右导数都不存在
解
$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}{f}_{-}^{\prime }(1)& =\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\frac{2}{3}{x}^3-\frac{2}{3}}{x-1}\\ & =\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{2}{3}\cdot \frac{x^3-1}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{2}{3}(x^2+x+1)=2;\end{array} \\ {f}_{+}^{\prime }(1)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2-\frac{2}{3}}{x-1}=\infty , \end{gathered}$$
  故该函数左导数存在，右导数不存在，因此应选（B）（这道题主要考察导数的基本概念，或者可以发现函数在$x=1$处是个跳跃间断点）

8.设$f(x)$可导，$F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$，则$f(0)=0$是$F(x)$在$x=0$处可导的（    ）。

（A）充分必要条件
（B）充分条件但非必要条件
（C）必要条件但非充分条件
（D）既非充分又非必要条件
解
$$\begin{array}{rl}{F}_{+}^{\prime }(0)& =\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)(1+\sin x)-f(0)}{x}\\ & =\underset{x\to 0^{+}}{\lim }[\frac{f(x)-f(0)}{x}+f(x)\frac{\sin x}{x}]=f^{\prime }(0)+f(0),\\ F_{-}^{\prime }(0)& =\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)(1-\sin x)-f(0)}{x}\\ & =\underset{x\to 0^{-}}{\lim }[\frac{f(x)-f(0)}{x}-f(x)\frac{\sin x}{x}]=f^{\prime }(0)-f(0),\end{array}$$
  当$f(x)=0$时，$F_{+}^{\prime }(0)=F_{-}^{\prime }(0)$，反之当$F_{+}^{\prime }(0)=F_{-}^{\prime }(0)$时，$f(x)=0$，因此应该选（A）。（该题主要考察导数定义的运用，复习时容易忽略）

习题2-2 函数的求导法则

在本节中，将介绍求导数的几个基本法则以及前一节中未讨论过的几个基本初等函数的导数公式。借助于这些法则和基本初等函数的导数公式，就能比较方便地求出常见地初等函数的导数。——高等数学同济版

  本节主要介绍了函数四则运算的求导法则、反函数与复合函数的求导法则和基本求导法则与导数公式，较为基础。

7.求下列函数的导数：

（4）$y=\arccos \frac{1}{x}$

解
$$y^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{1}{x}\right)}^2}}\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{|x|}{x^2\sqrt{x^2-1}}$$
（这道题比较简单但在提取$x$时容易忘记加绝对值而出错）

13.设函数$f(x)$和$g(x)$均在点$x_0$的某一邻域内有定义，$f(x)$在$x_0$处可导，$f(x_0)=0$，$g(x)$在$x_0$处连续，试讨论$f(x)g(x)$在$x_0$处的可导性。

解  由$f(x)$在$x_0$处可导，且$f(x_0)=0$，则有
$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{x-x_0};$$
由$g(x)$在$x_0$处连续，则有$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=g(x_0)$，故
$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{x-x_0}g(x)=f^{\prime }(x_0)g(x_0),$$
即$f(x)g(x)$在$x_0$处可导，其导数为$f^{\prime }(x_0)g(x_0)$。（这道题思路不难，需要仔细分析，不可以想当然判定）

习题2-3 高阶导数

  本节主要探讨高阶导数的相关计算以及莱布尼兹公式。

4.试从$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{1}{y^{\prime }}$导出：

（1）$\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{y}^2}=-\frac{y^{\prime \prime }}{(y^{\prime }{)}^3};$

解
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{y}^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left(\frac{1}{y^{\prime }}\right)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=-\frac{y^{\prime \prime }}{(y^{\prime }{)}^2}\cdot \frac{1}{y^{\prime }}=-\frac{y^{\prime \prime }}{(y^{\prime }{)}^3}$$

（2）$\frac{{\mathrm{d}}^{3}x}{\mathrm{d}{y}^3}=\frac{3(y^{\prime \prime }{)}^2-y^{\prime }{y}^{\prime \prime \prime }}{(y^{\prime }{)}^5};$

解
$$\frac{{\mathrm{d}}^{3}x}{\mathrm{d}{y}^3}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left(\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{y}^2}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left(-\frac{y^{\prime \prime }}{(y^{\prime }{)}^3}\right)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=-\frac{y^{\prime \prime \prime }(y^{\prime }{)}^3-y^{\prime \prime }\cdot 3(y^{\prime }{)}^2{y}^{\prime \prime }}{(y^{\prime }{)}^6}\cdot \frac{1}{y^{\prime }}=\frac{3(y^{\prime \prime }{)}^2-y^{\prime }{y}^{\prime \prime \prime }}{(y^{\prime }{)}^5}$$
（这道题主要利用导数的基本公式求解，不能想当然）

7.假设质点沿$x$轴运动的速度为$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=f(x)$，试求质点运动的加速度。

解  质点运动的加速度为
$$a=\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(f(x))\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=f^{\prime }(x)f(x).$$
（这道题主要说明和物理计算时不一样的地方，$f(x)$的导数不等价于加速度）

10.求下列函数所指定的阶的导数：

（2）$y=x^2\sin 2x$，求$y^{(50)}.$

解  由$(\sin 2x{)}^{(n)}=2^n\sin \left(2x+\frac{n\pi }{2}\right)$及莱布尼茨公式得
$$\begin{array}{rl}(x^2\sin 2x{)}^{(50)}& =x^2(\sin 2x{)}^{(50)}+50(x^2{)}^{\prime }(\sin 2x{)}^{(49)}+\frac{50\cdot 49}{2!}(x^2{)}^{\prime \prime }(\sin 2x{)}^{(48)}\\ & =2^{50}{x}^2\sin \left(2x+\frac{50\pi }{2}\right)+100\cdot 2^{49}x\sin \left(2x+\frac{49\pi }{2}\right)+\\ & \frac{50\cdot 49}{2}\cdot 2\cdot 2^{48}x\sin \left(2x+\frac{48\pi }{2}\right)\\ & =2^{50}\left(-x^2\sin 2x+50x\cos 2x+\frac{1225}{2}\sin 2x\right)\end{array}$$
（这道题主要利用公式$(\sin 2x{)}^{(n)}=2^n\sin \left(2x+\frac{n\pi }{2}\right)$，有时使用不熟练会导致错误）

11.求下列函数得$n$阶导数的一般表达式：

（2）$y={\sin }^{2}x;$

解
$$\begin{array}{rl}y& ={\sin }^{2}x=\frac{1}{2}(1-\cos 2x),\\ y^{(n)}& =\frac{-1}{2}\cos \left(2x+\frac{n\pi }{2}\right)\cdot 2^n\\ & =-2^{n-1}\cos \left(2x+\frac{n\pi }{2}\right)\end{array}$$
（这道题必须先进行三角变换再进行求解）

（4）$y=x{e}^x.$

解
$$y^{\prime }=e^x+x{e}^x=(1+x)e^x,y^{\prime \prime }=e^x+(1+x)e^x=(2+x)e^x.$$
  设$y^{(k)}=(k+x)e^x$，则$y^{(k+1)}=e^x+(k+x)e^x=(1+k+x)e^x$，故$y^{(n)}=(n+x)e^x$
（这道题需要先找出一般规律再使用归纳法证明求解）

12.求函数$f(x)=x^2\ln (x+1)$在$x=0$处的$n$阶导数$f^{(n)}(0)(n\ge 3).$

解  本题可以用莱布尼茨公式求解。
  设$u=\ln (1+x),v=x^2,$则$u^{(n)}=\frac{(-1{)}^{(n-1)}(n-1)!}{(1+x{)}^n}(n=1,2,\cdots ),v^{\prime }=2x,v^{\prime \prime }=2,v^{(k)}=0(k\le 3).$故由莱布尼茨公式，得
$$\begin{array}{rl}{f}^{(n)}(x)& =\frac{(-1{)}^{(n-1)}(n-1)!}{(1+x{)}^n}\cdot x^2+n\frac{(-1{)}^{(n-2)}(n-2)!}{(1+x{)}^{n-1}}\cdot 2x+\\ & \frac{n(n-1)}{2}\cdot \frac{(-1{)}^{(n-3)}(n-3)!}{(1+x{)}^{n-2}}\cdot 2(n\le 3)\\ f^{(n)}(0)& =\frac{(-1{)}^{n-1}n!}{n-2}(n\le 3).\end{array}$$
（这道题要求熟练掌握莱布尼茨公式并运用化简）

习题2-4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

  这一节主要讲述了隐函数及由参数方程所确定的函数的导数和相关变化率，相关变化率这一概念并未在考研大纲中明确提出具体要求。

9.求下列参数方程所确定的函数的三阶导数$\frac{{\mathrm{d}}^{3}y}{\mathrm{d}{x}^3}$：

（1）$\{\begin{array}{l}x=1-t^2,\\ y=t-t^3;\end{array}$

解
$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}& =\frac{1-3t^2}{-2t}=-\frac{1}{2t}+\frac{3}{2}t,\\ \frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}& =\frac{\frac{1}{2t^2}+\frac{3}{2}}{-2t}=-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{t^3}+\frac{3}{t}\right),\\ \frac{{\mathrm{d}}^{3}y}{\mathrm{d}{x}^3}& =-\frac{-\frac{1}{4}\left(\frac{3}{t^4}-\frac{3}{t^2}\right)}{-2t}=-\frac{3}{8t^5}(1+t^2).\end{array}$$

（2）$\{\begin{array}{l}x=\ln (1+t^2),\\ y=t-\arctan t.\end{array}$

解
$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}& =\frac{1-\frac{1}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}}=\frac{t}{2},\\ \frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}& =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2t}{1+t^2}}=\frac{1+t^2}{4t}=\frac{1}{4}(\frac{1}{t}+t),\\ \frac{{\mathrm{d}}^{3}y}{\mathrm{d}{x}^3}& =\frac{\frac{1}{4}(-\frac{1}{t^2}+1)}{\frac{2t}{1+t^2}}=\frac{t^4-1}{8t^3}.\end{array}$$
（利用$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}$或者二阶函数公式计算）

12.溶液子深18cm、顶直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中。开始时漏斗中充满了溶液。已知当溶液在漏斗中的水深为12cm时，其表面下降的速率为1cm/min。问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？

解  设在$t$时刻漏斗中的水深为$H=H(t)$，圆柱形筒中水深为$h=h(t)$，漏斗中溶液的顶半径为$r$。
  建立$h$与$H$之间的关系：
$$\frac{1}{3}\pi 6^2\cdot 18-\frac{1}{3}\pi r^{2}H=\pi 5^{2}h.$$
  又，$\frac{r}{6}=\frac{H}{18}$，即$r=\frac{H}{3}$。故
$$\frac{1}{3}\pi 6^2\cdot 18-\frac{1}{3}\pi (\frac{H}{3}{)}^{2}H=\pi 5^{2}h.$$
即$216\pi -\frac{\pi }{27}{H}^3=25\pi h.$
  上式两端分别对$t$求导，得
$$-\frac{3}{27}\pi H^2\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=25\pi \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}.$$
  当$H=12$时，$\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=-1$，此时
$$\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{25\pi }\left(-\frac{3}{27}\pi H^2\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}\right){|}_{\begin{array}{c}H=12\\ \frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=-1\end{array}}=\frac{16}{25}\approx 0.64(cm/min).$$
（利用隐函数求导求解）

习题2-5 函数的微分

  本节主要介绍微分的概念、运算法则、几何意义及应用。

总习题二

6.求下列函数$f(x)$的$f_{-}^{\prime }(0)$及$f_{+}^{\prime }(0)$，又$f^{\prime }(0)$是否存在：

（2）$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}},& x\ne 0,\\ 0,& x=0.\end{array}$

解
$$\begin{gathered} f_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}-0}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}=1, \\ {f}_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}-0}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}=0. \end{gathered}$$
  由$f_{-}^{\prime }(0)\ne f_{+}^{\prime }(0)$知$f^{\prime }(0)$不存在。（求解间断点的导数采用定义公式进行计算）

8.求下列函数的导数：

（5）$y=x^{\frac{1}{x}}(x>0).$

解  先在等式两端分别取对数，得$\ln y=\frac{\ln x}{x}$，再在所的等式两端分别对$x$求导，得
$$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2},$$
  于是
$$y^{\prime }=x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln x)$$
（在底数和指数都包含变量时视之为隐函数，采用对数求导法求解）

写在最后

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