第一章 函数与极限

本章将介绍映射、函数、极限和函数的连续性等基本概念以及它们的一些性质。 ——高等数学同济版

习题 1-1 映射与函数

映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射的一种。本节主要介绍映射、函数及有关概念、函数的性质与运算等。——高等数学同济版

  本节主要介绍映射和函数的有关基础概念，相对简单。

习题 1-2 数列的极限

  这一节主要介绍了数列极限的定义和收敛数列的性质。

3.下列关于数列$a_n$的极限是$a$的定义那些是对的，哪些是错的？如果是对的，是说明理由；如果是错的，试给出一个反例。

（2）对于任意给定的$\epsilon <0$，存在$N\in {\mathbf{N}}_{+}$，当$n>N$时，有无穷多项$x_n$，使不等式$|x_n-a|<\epsilon$成立；

解  错误；如对数列
$$x_n=\{\begin{array}{ll}n,& n=2k-1,\\ 1-\frac{1}{n},& n=2k,\end{array}k\in {\mathbf{N}}_{+},a=1.$$
对任意给定的$\epsilon >0$（设$\epsilon <1$），存在$N=[\frac{1}{\epsilon }]$，当$n>N$且$n$为偶数时，$|x_n-a|=\frac{1}{n}<\epsilon$成立，但$x_n$的极限不存在。（无穷多项满足不等于全部满足）

习题 1-3 函数的极限

  这一节主要包括了函数极限的定义及基本性质，理解即可。

习题1-4 无穷小与无穷大

  这一节主要介绍了无穷小和无穷大。

7.证明：函数$y=\frac{1}{x}\sin \frac{1}{x}$在区间$(0,1]$内无界，但这个函数不是$x\to 0^{+}$时的无穷大。

证   先证函数$y=\frac{1}{x}\sin \frac{1}{x}$在区间$(0,1]$内无界。
  因为$\forall M>0$，在区间$(0,1]$中总可以找到点$x_0$，使$f(x_0)>M$。例如可取$x_0=\frac{1}{2k\pi +\frac{\pi }{2}}(k\in \mathbf{N})$，则$f(x_0)=2k\pi +\frac{\pi }{2}$，当$k$充分大时，可使$f(x_0)>M$。所以$y=\frac{1}{x}\sin \frac{1}{x}$在区间$(0,1]$内无界。

  再证函数$y=\frac{1}{x}\sin \frac{1}{x}$不是$x\to 0^{+}$时的无穷大。

  因为$\forall M>0$，$\delta >0$，总可以找到点$x_0$，使$0<x_0<\delta$，但$f(x_0)<M$。例如，可取$x_0=\frac{1}{2k\pi }(k\in {\mathbf{N}}_{+})$，当$k$充分大时，$0<x_0<\delta$，但$f(x_0)=2k\pi \sin 2k\pi =0<M$。所以，$y=\frac{1}{x}\sin \frac{1}{x}$不是$x\to 0^{+}$时的无穷大。（这道题比较唬人，需要仔细分析题目才可以完成）

习题1-5 极限运算法则

本节讨论极限的求法，主要是建立极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限。——高等数学同济版

  本节主要介绍了极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则。

习题 1-6 极限存在准则 两个重要极限

  该节主要介绍了极限存在准则和$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$及$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$。

习题 1-7 无穷小的比较

  本节介绍了有关于无穷小的比较方法，包括了以下的常用替换公式。
  当$x\to 0$时，以下公式成立：
$$\begin{gathered} \sin x\sim x \\ 1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2 \\ \tan x\sim x \\ \arcsin x\sim x \\ \arctan x\sim x \\ {a}^x-1\sim x\ln a \\ \ln (x+1)\sim x \\ (1+\beta x{)}^{\alpha }-1\sim 1+\alpha \beta x \\ x-\sin x\sim \frac{x^3}{6} \\ {\log }_a(1+x)\sim \frac{x}{\ln a} \end{gathered}$$

5.利用等价无穷小的性质，求下列极限：

（4）$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-\tan x}{(\sqrt[3]{1+x^2}-1)(\sqrt{1+\sin x}-1)}$

解  
$$\begin{array}{r}\underset{x\to 0}{\lim }(\sqrt[3]{1+x^2}\end{array}$$