<think>我们正在讨论快速数论变换（NTT）及其逆变换（INTT）。NTT是FFT在有限域（模运算）上的类比，使用原根代替单位根。逆变换（INTT）用于将点值表示转换回系数表示。根据引用[2]，在FFT中，逆变换（IDFT）可以通过将DFT中的单位根替换为其共轭复数，并在最后除以n来实现。类似地，在NTT中，逆变换可以通过将正变换中的原根替换为原根的逆元（模逆元），并在最后乘以n的模逆元来实现。步骤：1.在NTT正变换中，我们使用模p（通常是质数）下的n次主单位根g_n=g^{(p-1)/n}，其中g是模p的一个原根。2.在逆变换中，我们使用g_n的逆元，即g_n^{-1}modp，因为g_n^n≡1(modp)，所以g_n^{-1}=g_n^{n-1}modp。3.执行与FFT类似的蝴蝶操作，但使用模运算。4.最后，将结果乘以n^{-1}modp（n的模逆元）。注意：NTT要求n是2的幂，且模数p满足p=c*2^k+1（即p-1必须包含足够的2的因子）。常见模数：998244353，其原根g=3。因为998244353-1=998244352=2^23×7×17，所以对于n是2的幂且n<=2^23，可以使用。逆变换算法步骤（INTT）：输入：点值表示A=(a0,a1,...,an-1)，其中n是2的幂，模数p，原根g。输出：系数表示（多项式系数）。1.构造逆变换用的单位根：wn=pow(g,(p-1)/n,p)的正变换中使用的单位根，然后其逆元为wn_inv=pow(wn,p-2,p)（根据费马小定理，因为p是质数）。2.将数组A作为输入，进行类似FFT的迭代过程，但使用wn_inv代替wn。3.迭代结束后，将每个元素乘以n^{-1}modp。代码实现（Python）：我们可以先实现NTT（正变换），然后通过修改单位根和最后乘以逆元来实现INTT。注意：在迭代过程中，蝴蝶操作与FFT相同，但使用模运算。下面给出NTT和INTT的代码，以及一个示例应用。示例：多项式乘法使用NTT将两个多项式从系数表示转换为点值表示，然后点值相乘，再用INTT转换回系数表示。注意：两个n次多项式相乘，结果最高为2n-1次，所以需要将多项式扩展到2的幂（长度至少为2n）。步骤：1.将两个多项式A和B补0到长度N（N是大于等于2n的最小2的幂）。2.对A和B分别进行NTT得到点值表示A'和B'。3.点乘：C'[i]=A'[i]*B'[i]modp。4.对C'进行INTT得到多项式C的系数。代码实现：首先，实现NTT正变换（使用迭代版本，避免递归开销）：迭代版本的NTT（快速傅里叶变换的迭代版本）称为蝴蝶操作。迭代NTT步骤：1.将数组按二进制反转重新排列（位逆序置换）。2.枚举区间长度len从2到n，每次合并相邻的区间。使用单位根：对于每个区间，使用单位根乘以奇数项（旋转因子）。同样，INTT的迭代版本类似，但使用单位根的逆元，并在最后乘以n的逆元。我们定义：mod=998244353原根g=3函数：ntt(a,inverse=False)当inverse为True时，执行逆变换。注意：在逆变换时，我们使用单位根的逆元，并在最后乘以n^{-1}。代码中需要预先计算位逆序置换数组，以及单位根（或单位根逆元）的幂。由于时间限制，我们给出一个简化的实现（未做优化，但清晰）。步骤：1.位逆序置换：可以预先计算rev数组。2.迭代：从区间长度2开始，每次倍增。3.对于每个区间，计算单位根的幂（从0到len/2-1），然后对每个区间的每个位置进行蝴蝶操作。蝴蝶操作（正变换）：forjinrange(0,n,len):forkinrange(0,len//2):u=a[j+k]v=a[j+k+len//2]*w%moda[j+k]=(u+v)%moda[j+k+len//2]=(u-v)%mod在逆变换中，我们使用w_inv，并且最后要乘以n_inv。但是注意：逆变换的迭代部分和正变换的结构相同，只是单位根不同。所以我们可以用相同的迭代结构。实现细节：在迭代时，正变换和逆变换的单位根选择：如果inverse为True，则使用单位根的逆元（即wn_inv=pow(wn,mod-2,mod)）作为基础单位根，并且最后乘以n_inv。但是，实际上我们可以统一使用正变换的单位根，然后在逆变换时使用单位根的逆元（注意：在迭代过程中，单位根要取逆元，且最后乘以n的逆元）。另外，在迭代过程中，逆变换也可以使用正变换的单位根，但需要将单位根数组反转？引用[2]中提到在FFT中IDFT使用共轭复数，在NTT中就是使用逆元。因此，在迭代过程中，当进行逆变换时，我们使用单位根的逆元（即w=pow(wn,mod-2,mod)）作为基础，然后每次迭代乘以w（实际上是乘以w_inv，因为逆变换的单位根是正变换单位根的逆元）。但是，更常见的做法是：在逆变换时，我们使用正变换的单位根（即同一个wn），但在蝴蝶操作中，将单位根替换为它的逆元（即w=pow(wn,(mod-2)*(n//len)?）不对。实际上，我们预先计算整个变换中会用到的单位根。在正变换中，我们使用单位根数组，在逆变换中，我们使用逆元数组。然而，我们可以这样：在逆变换时，将单位根设置为正变换单位根的逆元（注意：这里我们指的是每一层使用的单位根都要取逆元），然后最后乘以n^{-1}。具体代码步骤：1.如果inverse为True，则调用ntt(a,inverse)时，首先将数组进行位逆序置换（与正变换相同），然后在迭代过程中使用单位根的逆元（即w=pow(wn,mod-2,mod)），但注意：这里每一层的单位根是基础单位根的若干次方，所以我们可以直接对每一层的基础单位根取逆元。2.或者，我们可以这样：在逆变换时，将单位根数组替换为对应的逆元数组，然后执行和正变换完全相同的迭代过程，最后再乘以n^{-1}。实际上，更高效的做法是：在逆变换中，我们使用正变换单位根的逆元作为基础单位根，然后迭代过程与正变换相同，最后乘以n^{-1}。下面给出代码：注意：我们预先计算单位根数组，但这里为了简化，我们在每一层计算基础单位根：wn=pow(g,(mod-1)//n,mod)用于正变换，而逆变换时，基础单位根为pow(wn,mod-2,mod)或者直接使用pow(g,(mod-1)//n*(mod-2),mod)但这样计算量大。在迭代过程中，每一层需要的单位根是基础单位根的len/2次幂？不对，每一层需要的单位根是基础单位根的n/len次幂（因为每一层的区间长度是len，那么单位根应该是n//len次单位根，即wn^(n/len)=w_{len}，但通常我们取wn=pow(g,(mod-1)//n,mod)，那么w_{len}=wn^(n/len)=g^{(mod-1)/len}，即len次单位根）。因此，在每一层，区间长度为len，我们需要单位根w=pow(wn,n//len,mod)（正变换）?不对，实际上，我们通常这样计算：每一层的基础单位根是w=pow(g,(mod-1)//len,mod)（正变换），或者w=pow(g,(mod-1)//len*(mod-2),mod)（逆变换）。为了避免重复计算，我们可以在每一层计算基础单位根：如果正变换，w=pow(g,(mod-1)//len,mod)；如果逆变换，w=pow(g,(mod-1)//len*(mod-2),mod)即w=pow(w,mod-2,mod)。但是这样计算量较大。另一种方法是：我们预先知道模数和原根，对于给定的长度len（len是2的幂），我们可以计算单位根w=pow(g,(mod-1)//len,mod)用于正变换，而逆变换则用w_inv=pow(w,mod-2,mod)。因此，代码可以这样写：我们用一个函数同时支持正变换和逆变换。步骤：1.位逆序置换（rev数组）2.从len=2开始，直到len<=n（n是数组长度），每次len*=2w=pow(g,(mod-1)//len,mod)#正变换的单位根ifinverse:w=pow(w,mod-2,mod)#逆变换时使用单位根的逆元forjinrange(0,n,len):w_k=1#当前单位根的幂forkinrange(0,len//2):#蝴蝶操作u=a[j+k]v=a[j+k+len//2]*w_k%moda[j+k]=(u+v)%moda[j+k+len//2]=(u-v)%modw_k=w_k*w%mod3.如果是逆变换，则最后将每个元素乘以n^{-1}modmod。但是，上面的代码在逆变换时，我们在每一层使用了单位根的逆元，并且最后乘以n^{-1}。然而，上面的迭代过程在逆变换时与正变换的迭代过程完全相同（除了单位根取逆元），这符合引用[2]的描述。注意：位逆序置换在正变换和逆变换中都需要做。但是，我们也可以将位逆序置换放在最后（在逆变换时，有些实现将位逆序置换放在最后一步）。但通常，迭代NTT的实现都是先做位逆序置换（或者后做位逆序置换，但可以通过设置避免）。我们这里采用先做位逆序置换。另一种常见实现：不做显式的位逆序置换，而是通过迭代方式直接得到顺序的数组（即最后一步做位逆序置换）。但这里我们采用先做位逆序置换，然后迭代合并。位逆序置换函数可以预先计算。下面，我们给出完整的NTT函数（包括正变换和逆变换）。注意：当n不是2的幂时，我们需要将数组长度扩展到2的幂。为了方便，我们假设输入数组a的长度已经是2的幂（由调用者保证）。代码：定义：mod=998244353g=3函数：ntt(a,inverse=False)参数a：整数列表，元素在模mod下inverse：False表示正变换，True表示逆变换步骤：1.计算n=len(a)2.计算位逆序置换数组rev（长度为n）3.将a按照rev重新排列4.迭代：len从2到n（每次乘以2）w_n=pow(g,(mod-1)//len,mod)#正变换中长度为len的单位根ifinverse:w_n=pow(w_n,mod-2,mod)#逆变换则取逆元forjinrange(0,n,len):#处理每个区间w=1forkinrange(j,j+len//2):#每个区间的前半部分#蝴蝶操作u=a[k]v=a[k+len//2]*w%moda[k]=(u+v)%moda[k+len//2]=(u-v)%modw=w*w_n%mod#更新单位根幂次5.如果是逆变换，则乘以n^{-1}modmodinv_n=pow(n,mod-2,mod)foriinrange(n):a[i]=a[i]*inv_n%mod但是，上述代码中，位逆序置换数组rev如何计算？rev[i]表示i的二进制位反转（在log2(n)位内）后的值。例如：n=8,则：i:0(000)->0(000)->01(001)->4(100)->42(010)->2(010)->2?不对，应该是反转后为(010)还是2？不对，反转后是(010)变成(010)？不对，反转应该是(010)->(010)即2，但通常反转后是(010)变成(010)吗？注意，反转是在log2(n)位内反转。正确：n=8,位宽为3：0(000)->000->01(001)->100->42(010)->010->23(011)->110->64(100)->001->15(101)->101->56(110)->011->37(111)->111->7计算rev数组的代码：rev[0]=0foriinrange(1,n):rev[i]=rev[i//2]//2ifi&1:rev[i]|=n//2或者另一种方法（更直观）：rev=[0]*nbit_length=n.bit_length()-1foriinrange(n):rev[i]=rev[i//2]//2|((i&1)<<(bit_length-1))但这样计算比较复杂，我们使用：rev=[0]*nforiinrange(1,n):rev[i]=rev[i>>1]>>1ifi&1:rev[i]|=n>>1注意：n是2的幂，所以n>>1就是最高位为1其他为0。例如：n=8,rev[1]=rev[0]>>1|(4)->0|4=4rev[2]=rev[1]>>1|(0)->4>>1=2->2rev[3]=rev[1]>>1|(4)->2|4=6rev[4]=rev[2]>>1|(0)->2>>1=1->1rev[5]=rev[2]>>1|(4)->1|4=5rev[6]=rev[3]>>1|(0)->6>>1=3->3rev[7]=rev[3]>>1|(4)->3|4=7这个递推公式正确。因此，我们可以这样写：注意：rev[0]=0。代码实现rev数组：rev=[0]*nforiinrange(1,n):rev[i]=rev[i>>1]>>1ifi&1:rev[i]|=n>>1但是，这里rev[i]的值可能大于等于n？不会，因为n>>1是最高位，而后面移位不会超过n。然后，我们交换a[i]和a[rev[i]]，注意只需要交换一次（i<rev[i]时交换，避免重复交换又换回来）。或者，我们可以直接创建一个新数组：temp=[0]*nforiinrange(n):temp[i]=a[rev[i]]a[:]=temp现在，我们可以写出完整的NTT函数。但是，注意：在迭代过程中，我们使用了每一层的基础单位根w_n，然后在该层内，我们使用w从1开始，乘以w_n得到下一个单位根。另外，在每一层中，单位根的幂次是递增的，所以内层循环中，w=w*w_n%mod。我们写代码：注意：在迭代过程中，len从2开始，然后4,8,...,n。代码：下面给出一个示例：多项式乘法。假设有两个多项式A和B，我们计算C=A*B。步骤：1.将A和B补0到长度L（L>=len(A)+len(B)-1，且L是2的幂）2.对A进行NTT（正变换）3.对B进行NTT（正变换）4.点乘：C[i]=A[i]*B[i]modmod5.对C进行NTT（逆变换）然后C就是乘积多项式的系数。注意：由于NTT是在循环卷积下进行的，如果多项式乘积次数>=L，则会发生循环卷积。所以L必须大于等于结果多项式的次数（即len(A)+len(B)-1）。下面我们写代码示例。由于用户要求实现NTT逆变换，我们重点给出NTT函数（包括逆变换）和多项式乘法的例子。注意：模数使用998244353，原根g=3。代码：</think>### 快速数论逆变换（INTT）原理与实现
快速数论逆变换（INTT）是快速数论变换（NTT）的逆运算，用于将点值表示转换回系数表示。在模数 $p$（通常为 NTT 友好质数如 998244353）下，INTT 的数学基础是原根和模逆元。
#### INTT 数学原理
设多项式 $A(x) = \sum_{k=0}^{n-1} a_k x^k$ 在点 $x_i = g^{\frac{p-1}{n}i}$（$g$ 为 $p$ 的原根）处的点值为 $A_i$，则：
- **正变换 (NTT)**：$A_j = \sum_{k=0}^{n-1} a_k \cdot (g_n)^k \mod p$
- **逆变换 (INTT)**：$a_k = \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} A_j \cdot (g_n^{-kj}) \mod p$
其中 $g_n = g^{\frac{p-1}{n}}$ 是 $n$ 次主单位根，$g_n^{-1}$ 是其模逆元，$\frac{1}{n}$ 是 $n$ 的模逆元[^1][^2]。
#### INTT 算法步骤
1. **输入**：点值序列 $[A_0, A_1, \dots, A_{n-1}]$（长度 $n=2^m$）
2. **位逆序置换**：重排输入序列
3. **迭代计算**：
- 从区间长度 $len=2$ 开始，倍增至 $n$
- 每层使用单位根逆元 $ \omega = g_n^{-1} \mod p $
- 执行蝴蝶操作：$\begin{cases} u' = u + \omega \cdot v \\ v' = u - \omega \cdot v \end{cases}$
4. **缩放**：结果乘以 $n^{-1} \mod p$
#### Python 实现（模 $p=998244353$）
```python
MOD = 998244353
G = 3 # 原根
def ntt(a, inverse=False):
n = len(a)
# 位逆序置换
rev = [0] * n
for i in range(1, n):
rev[i] = rev[i >> 1] >> 1
if i & 1:
rev[i] |= n >> 1
for i in range(n):
if i < rev[i]:
a[i], a[rev[i]] = a[rev[i]], a[i]
# 迭代计算
len_block = 2
while len_block <= n:
wn = pow(G, (MOD-1)//len_block, MOD)
if inverse: # INTT 使用单位根逆元
wn = pow(wn, MOD-2, MOD)
for i in range(0, n, len_block):
w = 1
for j in range(i, i + len_block//2):
u = a[j]
v = w * a[j + len_block//2] % MOD
a[j] = (u + v) % MOD
a[j + len_block//2] = (u - v) % MOD
w = w * wn % MOD
len_block <<= 1
# INTT 缩放
if inverse:
inv_n = pow(n, MOD-2, MOD)
a[:] = [x * inv_n % MOD for x in a]
return a
# INTT 直接调用
def intt(a):
return ntt(a, inverse=True)
# 示例：多项式乘法
def poly_multiply(a, b):
n = 1
while n < len(a) + len(b):
n <<= 1
a_pad = a + [0] * (n - len(a))
b_pad = b + [0] * (n - len(b))
# NTT -> 点乘 -> INTT
a_ntt = ntt(a_pad)
b_ntt = ntt(b_pad)
c_ntt = [a_ntt[i] * b_ntt[i] % MOD for i in range(n)]
return intt(c_ntt)
# 测试
if __name__ == "__main__":
A = [1, 2] # 多项式 1 + 2x
B = [3, 4] # 多项式 3 + 4x
C = poly_multiply(A, B) # 结果应为 [3, 10, 8, 0] -> 3 + 10x + 8x^2
print("多项式乘积系数:", C[:3]) # 截取有效部分 [3, 10, 8]
```
#### 关键说明
1. **单位根逆元**：INTT 使用 $g_n^{-1} \equiv g_n^{p-2} \mod p$（费马小定理）
2. **缩放因子**：INTT 结果需乘 $n^{-1} \mod p$
3. **时间复杂度**：$O(n \log n)$，与 FFT 相同
4. **应用场景**：
- 多项式乘法（如加密算法、编码理论）
- 大整数乘法（将整数视为多项式系数）
- 卷积计算（信号处理、图像处理）[^3]
#### 优化方向
1. **预处理单位根**：预先计算所有 $\omega$ 值减少模幂运算
2. **非递归实现**：避免位逆序置换开销
3. **SIMD 指令**：利用 CPU 并行指令加速蝴蝶操作
4. **蒙哥马利模约减**：优化模运算性能
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