数学板块学习之任意模数NTT

最新推荐文章于 2023-07-10 19:39:24 发布

Toniht

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分类专栏：知识点

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本文详细介绍了如何使用任意模数的NTT算法，通过三个特定模数进行快速傅里叶变换，并利用中国剩余定理进行结果合并，提供了一个完整的代码实现模板。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

任意模数NTT

对于模数不是NTT用的模数，可以用多个NTT模数做NTT然后用CRT(中国剩余定理合并)
一般我们用的三个NTT模数， $998244353=2^{23}*119+1,1004535809=2^{21}*479+1,469762049=2^{26}*7+1$ ,这三个模数的原根都是3
但是三个模数的乘积过大，我们用CRT合并需要注意
合并过程：
我们得到的三个方程
$\begin{aligned} x&=a_1\ (mod\ m_1)\\ x&=a_2\ (mod\ m_2)\\ x&=a_3\ (mod\ m_3) \end{aligned}$
先用CRT合并前两个为 $x=A\ (mod\ M)$ 其中 $M＝m_1m_2$
设答案 $a n s = k M + A$
$a n s$ 满足第三个方程 $ans=kM+A=a_3\ (mod\ m_3)$
故 $k=(a3-A)M^{-1}\ (mod\ m_3)$
已知 $k$ 代回原式即可求出 $a n s$
因为 $k$ 是在 $mod\ m_3)$ 意义下求出的，我们只需要验证一下
假设 $k = t m 3 + b$
所以 $ans=(tm_3+b)M+A=tm_3M+bM+A$ ，很明显是满足的

给个模板吧，模板来源，实在不想自己写了。。。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <map>
#include <set>
#include <math.h>
#include <unordered_map>
//#include <tr1/unordered_map>

using namespace std;
#define me(x,y) memset(x,y,sizeof x)
#define MIN(x,y) x < y ? x : y
#define MAX(x,y) x > y ? x : y

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;

const int maxn = 300005;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9+7;
const double eps = 1e-06;
const double PI = acos(-1);

int mod;

namespace Math {
    inline int pw(int base, int p, const int mod) {
        static int res;
        for (res = 1; p; p >>= 1, base = static_cast<long long> (base) * base % mod) if (p & 1) res = static_cast<long long> (res) * base % mod;
        return res;
    }
    inline int inv(int x, const int mod) { return pw(x, mod - 2, mod); }
}
using namespace Math;
const int mod1 = 998244353, mod2 = 1004535809, mod3 = 469762049, G = 3;
const long long mod_1_2 = static_cast<long long> (mod1) * mod2;
const int inv_1 = inv(mod1, mod2), inv_2 = inv(mod_1_2 % mod3, mod3);
struct Int {
    int A, B, C;
    explicit inline Int() { }
    explicit inline Int(int __num) : A(__num), B(__num), C(__num) { }
    explicit inline Int(int __A, int __B, int __C) : A(__A), B(__B), C(__C) { }
    static inline Int reduce(const Int &x) {
        return Int(x.A + (x.A >> 31 & mod1), x.B + (x.B >> 31 & mod2), x.C + (x.C >> 31 & mod3));
    }
    inline friend Int operator + (const Int &lhs, const Int &rhs) {
        return reduce(Int(lhs.A + rhs.A - mod1, lhs.B + rhs.B - mod2, lhs.C + rhs.C - mod3));
    }
    inline friend Int operator - (const Int &lhs, const Int &rhs) {
        return reduce(Int(lhs.A - rhs.A, lhs.B - rhs.B, lhs.C - rhs.C));
    }
    inline friend Int operator * (const Int &lhs, const Int &rhs) {
        return Int(static_cast<long long> (lhs.A) * rhs.A % mod1, static_cast<long long> (lhs.B) * rhs.B % mod2, static_cast<long long> (lhs.C) * rhs.C % mod3);
    }
    inline int get() {
        long long x = static_cast<long long> (B - A + mod2) % mod2 * inv_1 % mod2 * mod1 + A;
        return (static_cast<long long> (C - x % mod3 + mod3) % mod3 * inv_2 % mod3 * (mod_1_2 % mod) % mod + x) % mod;
    }
} ;

#define maxn 131072

namespace Poly {
#define N (maxn << 1)
    int lim, s, rev[N];
    Int Wn[N | 1];
    inline void init(int n) {
        s = -1, lim = 1; while (lim < n) lim <<= 1, ++s;
        for (register int i = 1; i < lim; ++i) rev[i] = rev[i >> 1] >> 1 | (i & 1) << s;
        const Int t(pw(G, (mod1 - 1) / lim, mod1), pw(G, (mod2 - 1) / lim, mod2), pw(G, (mod3 - 1) / lim, mod3));
        *Wn = Int(1); for (register Int *i = Wn; i != Wn + lim; ++i) *(i + 1) = *i * t;
    }
    inline void NTT(Int *A, const int op = 1) {
        for (register int i = 1; i < lim; ++i) if (i < rev[i]) std::swap(A[i], A[rev[i]]);
        for (register int mid = 1; mid < lim; mid <<= 1) {
            const int t = lim / mid >> 1;
            for (register int i = 0; i < lim; i += mid << 1) {
                for (register int j = 0; j < mid; ++j) {
                    const Int W = op ? Wn[t * j] : Wn[lim - t * j];
                    const Int X = A[i + j], Y = A[i + j + mid] * W;
                    A[i + j] = X + Y, A[i + j + mid] = X - Y;
                }
            }
        }
        if (!op) {
            const Int ilim(inv(lim, mod1), inv(lim, mod2), inv(lim, mod3));
            for (register Int *i = A; i != A + lim; ++i) *i = (*i) * ilim;
        }
    }
#undef N
}
using namespace Poly;

int n, m;
Int A[maxn << 1], B[maxn << 1];
int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &mod); ++n, ++m;
    for (int i = 0, x; i < n; ++i) scanf("%d", &x), A[i] = Int(x % mod);
    for (int i = 0, x; i < m; ++i) scanf("%d", &x), B[i] = Int(x % mod);
    init(n + m);
    NTT(A), NTT(B);
    for (int i = 0; i < lim; ++i) A[i] = A[i] * B[i];
    NTT(A, 0);
    for (int i = 0; i < n + m - 1; ++i) {
        printf("%d%c", A[i].get(),i == n + m - 2 ? '\n' : ' ');
    }
    return 0;
}

/*

*/