最短路专题二（spfa）

继续上一篇，2道训练指南上的题目

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题目：UVa 11090
题意：

给定一个n个点m条边的加权有向图，求平均权值最小的回路。

分析：

使用二分法求解。对于一个猜测值mid，只需要判断是否存在平均值小于mid的回路。如何判断呢？假设存在一个包含k条边的回路，回路上各条变的权值为w1,w2,….,wk,那么
平均值小于mid意味着w1+w2+….+wk《K*mid,即：（w1-mid)+(w2-mid)+…+(wk-mid)<0
换句话说，只要把每条边（a,b)的全w(a,b)变成w(a,b)-mid,再判断新图中是否有负权回路即可。

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#include <map>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>
using namespace std;
const int INF = 1e9 + 9;
const int mod = 1000007;
const int N = 10000 + 9;
struct Edge {
    int v,  next;
    double w;
} edge[3 * N];
int head[N],  vis[N], n,m,cnt,num[N];
double d[N];
void addedge (int u, int  v, int w) {
    edge[cnt].v = v;
    edge[cnt].w = w;
    edge[cnt].next = head[u];
    head[u] = cnt++;
}
int spfa() {
    queue<int>q;
    for (int i = 1; i <= n; i++) d[i] = INF,q.push(i);
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(num,0,sizeof(num));
    d[1] = 0;
    while (!q.empty() ) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        vis[u] = 0;
        for (int i = head[u]; ~i; i = edge[i].next) {
            if (d[edge[i].v] > d[u] + edge[i].w) {
                d[edge[i].v] = d[u] + edge[i].w;
                if (!vis[edge[i].v]) {
                    q.push (edge[i].v);
                    vis[edge[i].v] = 1;
                    if(++num[edge[i].v]>n)return 0;
                }

            }
        }
    }
    return 1;
}
bool ok(double x)
{
    for(int i=0;i<m;i++)edge[i].w-=x;
    int ans=spfa();
    for(int i=0;i<m;i++)edge[i].w+=x;
    return !ans;
}
int main() {
     //freopen ("f.txt", "r", stdin);
    int u, v, w,T;
    scanf("%d",&T);
    for(int cas=1; cas<=T; cas++) {

        memset (head, -1, sizeof (head) );
        cnt = 0;
        scanf ("%d%d", &n,&m) ;
        int R=0;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            scanf ("%d%d%d", &u, &v,&w);
            addedge(v,u,w);
            R=max(R,w);
        }
        printf("Case #%d: ",cas);
        if(!ok(R+1)){
            printf("No cycle found.\n");continue;
        }
        double l=0,r=R;

        for(int i=0;i<50;i++){
            double mid=(l+r)/2;
            if(ok(mid))r=mid;
            else l=mid;
        }
        printf("%.2lf\n",l);
    }
    return 0;
}

题目：UVa 11478
题意：

对于一个有向带权图，进行一种操作（v,d），对以点v为终点的边的权值-d，对以点v为起点的边的权值+d。现在给出一个有向带权图，为能否经过一系列的（v,d）操作使图上的每一条边的权值为正，若能，求最小边权的最大值。

分析：

最小值最大，二分答案，令sum(u)表示为作用在节点u之上的所有d之和，这样题目的目标就是确定所有的sum(u)了；
对于边a->b，不难发现操作后的权值是:w(a, b)+sum(a)-sum(b)>=x
那么就可以得到个不等式：sum(b)-sum(a) <= w(a, b)-x，
这样，我们实际得到一个差分约束系统。
那么我们在做spfa的时候，如果发现负权环的话，那么就相当于我们无法得到一个类似最短路的不等式，所以无解。

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#include <map>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>
using namespace std;
const int INF = 1e9 + 9;
const int mod = 1000007;
const int N = 1000 + 9;
struct Edge {
    int v,  next;
    double w;
} edge[3 * N];
int head[N],  vis[N], n,m,cnt,num[N];
double d[N];
void addedge (int u, int  v, int w) {
    edge[cnt].v = v;
    edge[cnt].w = w;
    edge[cnt].next = head[u];
    head[u] = cnt++;
}
int spfa() {
    queue<int>q;
    for (int i = 1; i <= n; i++) d[i] = INF,q.push(i);
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(num,0,sizeof(num));
    d[1] = 0;
    while (!q.empty() ) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        vis[u] = 0;
        for (int i = head[u]; ~i; i = edge[i].next) {
            if (d[edge[i].v] > d[u] + edge[i].w) {
                d[edge[i].v] = d[u] + edge[i].w;
                if (!vis[edge[i].v]) {
                    q.push (edge[i].v);
                    vis[edge[i].v] = 1;
                    if(++num[edge[i].v]>n)return 0;
                }

            }
        }
    }
    return 1;
}
bool ok(int x) {
    for(int i=0; i<m; i++)edge[i].w-=x;
    int ans=spfa();
    for(int i=0; i<m; i++)edge[i].w+=x;
    return ans;
}
int main() {
    //freopen ("f.txt", "r", stdin);
    int u, v, w,T;
    while(~scanf ("%d%d", &n,&m) ) {

        memset (head, -1, sizeof (head) );
        cnt = 0;
        int L=1,R=0;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            scanf ("%d%d%d", &u, &v,&w);
            addedge(v,u,w);
            R=max(R,w);
        }
        if(ok(R+1)) printf("Infinite\n"); // 如果可以让每条边权都>ub，说明每条边的权都增加了，
                                            //重复一次会增加得更多...直到无限
        else if(!ok(1)) printf("No Solution\n");
        else {
            while(L < R) {
                int M = L + (R-L+1)/2;
                if(ok(M)) L=M;
                else R = M-1;
            }
            printf("%d\n", L);
        }
    }
    return 0;
}