hdu 5667 Sequence (矩阵快速幂,a ^ b % c = a ^(b % phi(c) + phi(c)) % c)

本文提供HDU 5667题目的解析与代码实现，通过矩阵快速幂解决递推问题，并利用费马小定理简化指数运算。详细介绍了算法思路与关键步骤。

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題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5667
題解：http://bestcoder.hdu.edu.cn/solutions.php?page=3
分析：根据题解化简找出那个行列式，然后就求gi。需要注意的是gi是指数，根据费马小定理,指数%(p-1)即可。

a ^ b % c = a ^(b % phi(c) + phi(c)) % c; 因为c是质数,所以这里的phi就为c - 1;所以只要用矩阵幂的时候% c -1,答案% c即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll mod;
struct mat
{
   ll m[3][3];
};
mat mul(mat a,mat b)
{
    mat c;
    memset(c.m,0,sizeof(c.m));
    for(int k=0;k<3;k++)
        for(int i=0;i<3;i++)
        for(int j=0;j<3;j++)
        c.m[i][j]=(c.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j]%(mod-1))%(mod-1);
    return c;
}
mat qmod(mat a,ll k)
{
    mat c;
    for(int i=0;i<3;i++)
        for(int j=0;j<3;j++)c.m[i][j]=(i==j);
    for(;k;k>>=1){
        if(k&1)c=mul(c,a);
        a=mul(a,a);
    }
    return c;
}
ll po(ll x, ll k)
{
    ll res = 1;
    for(;k;k>>=1){
        if(k&1)res=res*x%mod;
        else x=x*x%mod;
    }
    return res;
}
int main()
{
    //freopen("f.txt","r",stdin);
    int  T;
    ll a,b,c, n;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&a,&b,&c,&mod);
        if(n==1){
            printf("1\n");continue;
        }
        else if(n==2){
            ll res=po(a,b);
            printf("%lld\n",res);continue;
        }
        mat ans;
        ans.m[0][0]=c;ans.m[0][1]=1;ans.m[0][2]=0;
        ans.m[1][0]=1;ans.m[1][1]=ans.m[1][2]=0;
        ans.m[2][0]=b;ans.m[2][1]=0;ans.m[2][2]=1;
        ans=qmod(ans,n-2);
        ll res=1;
        ll k=ans.m[0][0]*b+ans.m[2][0];
        res=po(a,k);
        printf("%lld\n",res);
    }
    return 0;
}