【高等数学】【强化第二章】一元函数微分学：导数与微分、导数应用、极值最值判断

一. 导数与微分

1. 内容要点

1.1. 导数与微分的概念

• 导数定义的等价形式

• 左导数、右导数的概念

 

可微的充要条件：可导

 

1.2. 导数与微分的几何意义

导数表示斜率、微分表示切线上的增量

 

1.3. 连续、可导、可微之间的关系：可微与可导之间等价

 

1.4. 求导公式与求导法则

 

求导法则

a. 复合函数求导

链式法则

 

b. 隐函数求导

两种方式

 

c. 反函数的导数

导数的倒数

 

d.参数方程

 

e. 对数求导法

 

f. 常见高阶导

 

2. 题型与做题技巧

题型一：导数与微分的概念

1. 利用导数定义求极限

1. 凑$1^{\infty }$形式，求极限值，带回e，得解。

 

 

直接洛必达

 

1. 求切点斜率
2. 变换式子为无穷小，然后洛必达

 

2. 利用导数定义求导数

方法1. 利用定义求极限
方法2. 直接求导观察

 

利用导数定义，转换成求极限

注意：分段函数在分界点处一定要用导数定义求。

 

 

3. 利用导数定义判断可导性

B：注意连续的条件
D：反例：f=|x|

基于f凑导数形式。

 

• 学会：拆分并简化问题
  

 

利用导数定义，判断在不同点是否可导。
做题心态：别着急做，要给这道题认真的态度，别跳步。

• 利用导数定义:
  利用立方差公式，约掉x-1。
  

 

1. 直接举一个例子

 

根据极限的特性，画出fx的图像，不可导点，一目了然

 

1. 按照导数定义
2. 按照导数定义+f二阶可导。

 

题型二：导数的几何意义

方程组（两边对x求导）、参数方程（对t求导，然后除以）的求导法则

极坐标公式求导：（极坐标分别转为y、x，然后参数方程求导）

 

题型三：导数与微分的计算（见三大计算）

 

二. 导数应用

1. 内容要点

a. 四大微分中值定理

 

b. 极值与最值

定义：

因为涉及到领域，极值只能在开区间中取到

极值的必要条件

1. 导数=0
2. 所有可能的极值点:

• 对于可导函数，所有可能的极值点：驻点
• 对于一般函数，所有可能的极值点：驻点和导数不存在的点
• 判断需要通过充分条件。

 

极值的三个充分条件

 

求最值的方法

 

c. 曲线的曲向与拐点

凹凸性的判断

拐点
定义、必要条件、充分条件

 

d. 渐进线与曲率

渐近线

 
平面曲线的曲率

求曲率的公式

 

2.题型与做题技巧

a. 函数单调性、极值与最值（大题）

例题1: 积分函数求极值

1. 求导，找出所有驻点和不可导点
2. 看左右导数符号，判断极值。
   对于积分函数求导：注意：
   • 被积函数中不能含有积分上下限变量，要注意分开。
   • 求导时把变量x看成常数。
   • 积分上下限本身也要求导。

 

例题2: 方程组求极值

1. 方程左右两边对x求导，然后令y’的一阶导=0，求出驻点
2. 因为判断不出导数变化，所以求二阶导判断。

 

（保号性）得二阶导>0，一阶导递增，又因为一阶导=0，所以一阶导先小于0，然后再大于0

 

例题3：抽象方程判断极值

1. 思路：极值点，则一阶导=0，分离方程，找到一阶导和二阶导的关系，分析二阶导的正负，进而判断出是极小值还是极大值
2. 利用一题：直接求右式极值，判断出正负，进而判断出极值。

 

b. 曲线的凹向、拐点、渐进线及曲率（大题）

 

c. 方程根的存在性与个数（大题）

 

d. 证明函数不等式（见证明专栏）

e. 微分中值定理有关的证明题（见证明专栏）