【计算机视觉（8）】双视图几何基础篇：从立体视觉到极线约束

原创于 2025-12-07 23:24:00 发布 · 718 阅读

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#计算机视觉 #数码相机 #人工智能

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📌 适合对象：计算机视觉初学者、图像处理入门者
⏱️ 预计阅读时间：50-60分钟
🎯 学习目标：理解如何用两个相机测量距离，掌握立体视觉、三角测量、极线约束和基础矩阵的基本概念

📚 学习路线图

本文内容一览（快速理解）

立体视觉（Stereo Vision）：使用两个相机从不同视角观察场景，通过视差计算距离
视差（Disparity）：同一3D点在两个图像中的位置差异，距离越近视差越大
三角测量（Triangulation）：根据两个相机看到的对应点，计算3D点的位置
对应点搜索（Correspondence Search）：在两张图像中找到同一个3D点的投影
极线约束（Epipolar Constraint）：对应点必须位于极线上，大大缩小搜索范围
极线校正（Epipolar Rectification）：将图像变换，使极线变为水平线，简化匹配
基础矩阵（Fundamental Matrix）：描述两个视图之间的几何关系
8点算法（8-point Algorithm）：用8对对应点估计基础矩阵

一、立体视觉基础（Stereo Vision）：如何用两个相机测量距离

这一章要建立的基础：理解为什么需要两个相机才能测量距离，以及立体视觉的基本原理

核心问题：如何用相机测量物体的距离？为什么单张图像无法确定距离？

[!NOTE]
📝 关键点总结：单张图像只能告诉我们3D点位于从相机中心出发的某条射线上，但无法确定具体位置。使用两个相机从不同视角观察，通过三角测量可以确定3D点的位置。

1.1 为什么需要两个相机（Why Two Cameras）：单张图像的局限性

概念的本质：

想象你在看一张照片，照片中有一个物体。你能看出这个物体有多大吗？能看出它离你有多远吗？很难！因为从一张照片中，我们只能知道物体在某个方向上，但不知道具体距离。就像你闭上一只眼睛看东西，很难判断距离一样。

图解说明：

💡 说明：从单张图像中，我们只能知道3D点位于从相机中心出发的某条射线上，但无法确定它在这条射线上的具体位置。使用两个相机从不同视角观察，两条射线的交点就是3D点的位置。

类比理解：

想象你在用一只眼睛看远处的物体，很难判断距离。但如果你用两只眼睛（就像我们人类一样），通过比较左右眼看到的图像差异（视差），就能判断距离。立体视觉就是用两个相机模拟双眼视觉。

实际例子：

单张图像的局限性：
- 只能知道3D点位于从相机中心出发的某条射线上
- 无法确定具体距离
- 就像闭上一只眼睛看东西，难以判断距离

立体视觉的优势：
- 使用两个相机从不同视角观察
- 通过三角测量确定3D点的位置
- 就像用两只眼睛看东西，可以判断距离

1.2 立体视觉的基本原理（Basic Principle of Stereo Vision）：从两个视角恢复3D结构

概念的本质：

立体视觉就像用两只眼睛看东西。我们从两个不同的位置观察同一个场景，然后找到两张图像中对应的点（同一个3D点在两张图像中的投影），通过计算这些对应点的位置差异（视差），就能计算出3D点的位置。

图解说明：

💡 说明：立体视觉需要知道两个相机的相对位置（平移T）和方向（旋转R）。如果这些参数已知，就是立体视觉（Stereo Vision）；如果未知，需要从图像中估计，就是运动恢复结构（Structure from Motion）。

类比理解：

想象你在用两个相机拍摄同一个场景，就像用两只眼睛看东西。你的大脑会自动找到左右眼看到的对应点，然后根据这些点的位置差异判断距离。立体视觉系统也是这样工作的。

实际例子：

立体视觉的应用：
1. 机器人导航：判断障碍物的距离
2. 3D重建：从两张图像恢复场景的3D结构
3. 自动驾驶：判断车辆与障碍物的距离
4. 虚拟现实：创建3D场景

人类视觉的类比：
- 双眼视差（Binocular Disparity）：左右眼看到的图像差异
- 大脑自动处理视差，判断距离
- 立体视觉系统模拟这个过程

1.3 简化的立体视觉情况（Simplified Stereo Case）：理想情况下的距离计算

概念的本质：

在理想情况下，假设两个相机完全相同，并且沿着x轴对齐（水平排列）。在这种情况下，计算距离变得非常简单：距离越近的物体，在两张图像中的位置差异（视差）越大。

图解说明：

💡 说明：在简化的立体视觉情况下，距离Z = bf/d，其中b是基线（两个相机之间的距离），f是焦距，d是视差（同一3D点在左右图像中的位置差异）。距离越近，视差越大；距离越远，视差越小。

类比理解：

想象你站在一条直线上，用两只眼睛看远处的物体。物体越近，左右眼看到的差异越大；物体越远，差异越小。这就是视差与距离的关系。

实际例子：

简化情况的假设：
- 两个相机完全相同
- 相机沿x轴水平对齐
- 图像平面平行

视差与距离的关系：
- 距离Z = 基线b × 焦距f / 视差d
- 近处物体：视差大（在图像中位置差异大）
- 远处物体：视差小（在图像中位置差异小）

实际应用：
- 虽然理想情况很少见，但理解这个关系很重要
- 实际应用中需要考虑相机标定和校正

1.4 视差图（Disparity Map）：每个像素的视差值

概念的本质：

视差图是一张图像，其中每个像素的值表示该像素对应的3D点的视差。视差图告诉我们场景中每个点的深度信息：视差大的地方对应近处物体，视差小的地方对应远处物体。

图解说明：

💡 说明：视差图是立体视觉的核心输出。通过视差图，我们可以计算每个像素对应的3D点的深度，从而重建整个场景的3D结构。

类比理解：

想象你在看一幅画，画中有些物体看起来近，有些看起来远。视差图就像给这幅画标注了每个位置的"远近程度"：数值大的地方近，数值小的地方远。

实际例子：

视差图的特点：
- 每个像素值表示该位置的视差
- 视差大的区域：近处物体（如前景）
- 视差小的区域：远处物体（如背景）
- 可以转换为深度图

应用：
- 3D重建：从视差图重建3D场景
- 物体检测：识别不同深度的物体
- 背景分割：分离前景和背景
- 虚拟现实：创建深度感知

1.5 一般情况的立体视觉（General Stereo Case）：需要相机标定

概念的本质：

在实际应用中，两个相机很少完全对齐。我们需要知道两个相机的相对位置（外参：旋转R和平移T）和每个相机的内部参数（内参：焦距、主点、畸变等）。这些参数通过相机标定获得。

图解说明：

💡 说明：在实际应用中，我们需要通过相机标定获得相机的内参和外参。内参描述相机的内部特性（焦距、主点、畸变），外参描述两个相机之间的相对位置和方向。

类比理解：

想象你要用两个相机测量距离，但这两个相机的位置和方向是未知的。就像你要用两只眼睛看东西，但不知道两只眼睛的相对位置。相机标定就是"测量"这些参数的过程。

实际例子：

相机标定的必要性：
- 实际相机很少完全对齐
- 需要知道相机的内参和外参
- 内参：焦距f、主点(cx, cy)、径向畸变
- 外参：旋转R、平移T（两个相机的相对位置）

标定方法：
- 使用标定板（如棋盘格）
- 拍摄多张不同角度的图像
- 计算相机的内参和外参

应用：
- 立体相机系统必须经过标定
- 标定精度影响3D重建的精度

二、三角测量（Triangulation）：从对应点恢复3D位置

这一章要建立的基础：理解如何从两个相机看到的对应点，计算3D点的位置

核心问题：已知两个相机的位置和两张图像中的对应点，如何计算3D点的位置？

[!NOTE]
📝 关键点总结：三角测量是根据两个相机看到的对应点，通过求解两条射线的交点来确定3D点的位置。由于噪声和数值误差，两条射线可能不相交，需要找到最佳估计。

2.1 三角测量的基本思想（Basic Idea of Triangulation）：两条射线的交点

概念的本质：

三角测量就像用两条线确定一个点。从两个相机中心出发，分别指向对应点的两条射线，理论上应该相交于3D点。但由于噪声和误差，这两条射线可能不相交，我们需要找到最佳估计。

图解说明：

💡 说明：三角测量是立体视觉的核心步骤。给定两个相机的位置和两张图像中的对应点，我们需要计算3D点的位置。理想情况下，两条射线应该相交，但由于噪声，需要找到最佳估计。

类比理解：

想象你在用两个手电筒照射同一个物体。理论上，两条光线应该相交于物体上。但如果手电筒的位置有误差，或者光线有散射，两条光线可能不完全相交。三角测量就是找到两条光线"最接近"的交点。

实际例子：

三角测量的输入：
- 左相机看到的点p1（图像坐标）
- 右相机看到的点p2（图像坐标）
- 两个相机的内参和外参

三角测量的输出：
- 3D点P的世界坐标(X, Y, Z)

挑战：
- 噪声导致两条射线不相交
- 需要找到最佳估计
- 有多种方法：几何方法、线性方法、非线性方法

2.2 几何方法（Geometric Approach）：找到最短连接线段的中点

概念的本质：

由于两条射线可能不相交，几何方法找到连接两条射线的最短线段，然后取这条线段的中点作为3D点的估计。这种方法直观，但计算可能较复杂。

图解说明：

💡 说明：几何方法找到连接两条射线的最短线段，这条线段垂直于两条射线。线段的中点就是3D点的估计。这种方法几何意义清晰，但计算相对复杂。

类比理解：

想象两条不相交的直线，你想找到它们之间最短的距离。几何方法就是找到连接这两条直线的最短线段，然后取中点作为"交点"的估计。

实际例子：

几何方法的特点：
- 直观：找到最短连接线段
- 几何意义清晰
- 计算相对复杂

适用场景：
- 需要直观理解时
- 作为其他方法的参考

2.3 线性方法（Linear Approach）：求解线性方程组

概念的本质：

线性方法将三角测量问题转化为求解线性方程组。通过将3D点投影到两个图像平面，建立方程组，然后求解。这种方法计算简单，但可能不是最优解。

图解说明：

💡 说明：线性方法通过建立投影方程，将问题转化为求解线性方程组。这种方法计算简单快速，但可能不是最优解，因为忽略了投影的非线性特性。

类比理解：

想象你要解一个方程，但方程太复杂。线性方法就是把方程简化，变成线性方程，然后求解。虽然可能不够精确，但计算简单。

实际例子：

线性方法的优点：
- 计算简单快速
- 易于实现
- 可以作为初始估计

线性方法的缺点：
- 可能不是最优解
- 忽略了投影的非线性特性

应用：
- 快速估计3D点位置
- 作为非线性方法的初始值

2.4 非线性方法（Non-linear Approach）：最小化重投影误差

概念的本质：

非线性方法通过最小化重投影误差来找到最优的3D点。重投影误差是观测点与重投影点之间的距离。这种方法最准确，但需要迭代优化。

图解说明：

💡 说明：非线性方法最小化重投影误差（Sum of Squared Reprojection Error, SSRE）。重投影误差是观测点与将3D点重投影到图像平面得到的点之间的距离。这种方法最准确，通常用线性方法初始化，然后用Gauss-Newton或Levenberg-Marquardt算法优化。

类比理解：

想象你在调整一个参数，让预测结果尽可能接近实际观测。非线性方法就是不断调整3D点的位置，让重投影的点尽可能接近观测到的点。

实际例子：

非线性方法的特点：
- 最准确：最小化重投影误差
- 需要迭代优化
- 通常用线性方法初始化

优化算法：
- Gauss-Newton算法
- Levenberg-Marquardt算法

应用：
- 需要高精度时
- 作为最终优化步骤

2.5 基线的影响（Baseline Sensitivity）：基线大小的权衡

概念的本质：

基线（两个相机之间的距离）的大小对三角测量的精度有重要影响。基线太小，深度误差大；基线太大，物体可能只在一个相机中可见，而且搜索对应点变得困难。

图解说明：

💡 说明：基线的大小需要在精度和可见性之间权衡。基线太小，视差小，深度误差大；基线太大，物体可能只在一个相机中可见，而且搜索对应点变得困难。需要根据应用场景选择合适的基线。

类比理解：

想象你用两只眼睛看东西。如果两只眼睛靠得太近（基线小），很难判断距离；如果离得太远（基线大），可能一只眼睛看不到物体。需要合适的距离。

实际例子：

基线太小的影响：
- 视差小，深度误差大
- 难以准确测量距离
- 就像两只眼睛靠得太近

基线太大的影响：
- 物体可能只在一个相机中可见
- 搜索对应点变得困难
- 对于近处物体尤其明显

最佳基线：
- 根据应用场景选择
- 平衡精度和可见性
- 通常为场景深度的10-20%

三、对应点搜索与极线约束（Correspondence Search & Epipolar Constraint）：高效寻找匹配点

这一章要建立的基础：理解如何在两张图像中找到对应点，以及极线约束如何缩小搜索范围

核心问题：如何在两张图像中找到同一个3D点的投影？如何缩小搜索范围？

[!NOTE]
📝 关键点总结：对应点搜索是立体视觉的关键步骤。极线约束告诉我们：对应点必须位于极线上，这大大缩小了搜索范围，从2D搜索降低到1D搜索。

3.1 对应点搜索的问题（The Correspondence Problem）：在图像中寻找匹配点

概念的本质：

对应点搜索就是在两张图像中找到同一个3D点的投影。这是一个困难的问题，因为需要在整张图像中搜索，计算量很大。我们需要找到高效的搜索方法。

图解说明：

💡 说明：对应点搜索是立体视觉的核心问题。对于左图像中的每个点，需要在右图像中找到对应的点。常用的相似度度量包括归一化互相关（NCC）、平方差和（SSD）、绝对差和（SAD）等。

类比理解：

想象你在玩"找不同"游戏，但反过来：给你左图中的一个小区域，在右图中找到相同或相似的区域。这就是对应点搜索。

实际例子：

对应点搜索的挑战：
- 搜索空间大：整张图像
- 计算量大：对每个点都要搜索
- 可能有多个相似区域
- 需要高效的搜索方法

相似度度量：
- NCC（归一化互相关）：对亮度和对比度不敏感
- SSD（平方差和）：计算快，但对亮度敏感
- SAD（绝对差和）：计算快，鲁棒性一般

应用：
- 立体视觉的核心步骤
- 决定3D重建的精度

3.2 极线约束（Epipolar Constraint）：对应点必须位于极线上

概念的本质：

极线约束是立体视觉中最重要的几何约束。它告诉我们：左图像中的点pL对应的右图像中的点pR，必须位于一条特殊的直线（极线）上。这大大缩小了搜索范围，从2D搜索降低到1D搜索。

图解说明：

💡 说明：极线约束基于几何关系：左图像中的点pL、左相机中心CL和右相机中心CR构成一个平面（极平面）。这个平面与右图像平面的交线就是极线。对应点pR必须位于这条极线上。

类比理解：

想象你在用两只眼睛看一个物体。如果你闭上一只眼睛，用另一只眼睛看物体，物体在另一只眼睛的视网膜上的位置是确定的（在一条线上）。极线约束就是这个原理。

实际例子：

极线约束的关键概念：
- 极平面（Epipolar Plane）：由pL、CL、CR构成的平面
- 极线（Epipolar Line）：极平面与图像平面的交线
- 极点（Epipole）：一个相机中心在另一个相机图像中的投影

极线约束的优势：
- 将2D搜索降低到1D搜索
- 大大减少计算量
- 提高匹配精度

应用：
- 所有立体视觉系统都利用极线约束
- 是高效对应点搜索的基础

3.3 极点的性质（Properties of Epipoles）：所有极线通过极点

概念的本质：

极点是极线约束中的特殊点。左相机中心在右图像中的投影是右极点，右相机中心在左图像中的投影是左极点。所有极线都通过对应的极点。

图解说明：

💡 说明：极点是相机中心在另一个相机图像中的投影。所有极线都通过对应的极点。如果两个相机平行，极点在无穷远处；如果两个相机不平行，极点在图像内或图像外。

类比理解：

想象所有从你左眼出发的视线，在右眼视网膜上的投影都通过一个特殊点（右极点）。这个点就是左眼在右眼视网膜上的投影。

实际例子：

极点的性质：
- 左极点eL：右相机中心在左图像中的投影
- 右极点eR：左相机中心在右图像中的投影
- 所有极线都通过对应的极点

极点的位置：
- 平行相机：极点在无穷远处
- 非平行相机：极点在图像内或图像外

应用：
- 理解极线约束的几何结构
- 用于极线校正

四、极线校正（Epipolar Rectification）：简化对应点搜索

这一章要建立的基础：理解如何将图像变换，使极线变为水平线，简化匹配过程

核心问题：如何简化对应点搜索？如何使极线变为水平线？

[!NOTE]
📝 关键点总结：极线校正是将图像对变换，使极线变为水平且对齐的直线。这样，对应点搜索只需要在同一行（扫描线）上进行，大大简化了匹配过程。

4.1 极线校正的目的（Purpose of Epipolar Rectification）：使极线水平对齐

概念的本质：

极线校正的目的是将图像对变换，使极线变为水平且对齐的直线。这样，对应点搜索只需要在同一行（扫描线）上进行，大大简化了匹配过程，也便于硬件实现。

图解说明：

💡 说明：极线校正通过旋转、调整焦距、校正镜头畸变和平移等变换，将图像对变换为新的"校正"图像，使极线平行且对齐到基线。这样，对应点搜索只需要在同一行上进行。

类比理解：

想象你在看两幅画，但画是倾斜的，很难比较。极线校正就像把两幅画旋转，使它们对齐，这样比较起来就容易多了。

实际例子：

极线校正的优势：
- 极线变为水平线
- 对应点在同一行
- 搜索从2D降低到1D
- 便于硬件实现（扫描线处理）

校正的步骤：
1. 旋转：使图像对齐
2. 调整焦距：使焦距相同
3. 校正镜头畸变
4. 平移：使极线对齐

应用：
- 几乎所有立体视觉系统都使用极线校正
- 简化对应点搜索
- 提高匹配效率

4.2 极线校正的过程（Process of Epipolar Rectification）：旋转、调整焦距、校正畸变、平移

概念的本质：

极线校正包括多个步骤：旋转图像使对齐，调整焦距使相同，校正镜头畸变，最后平移使极线对齐。每一步都是为了实现极线水平对齐的目标。

图解说明：

💡 说明：极线校正是一个多步骤的过程。首先旋转图像使对齐，然后调整焦距使两个相机的焦距相同，接着校正镜头畸变，最后平移使极线对齐到基线。每一步都需要精确计算。

类比理解：

想象你在调整两台相机，使它们完美对齐。首先旋转相机使方向一致，然后调整焦距使视野相同，接着校正镜头畸变，最后微调位置使极线对齐。

实际例子：

极线校正的步骤：
1. 旋转（Rotation）：
   - 使两个图像对齐
   - 使极线平行

2. 调整焦距（Focal Lengths）：
   - 使两个相机的焦距相同
   - 保证图像尺度一致

3. 校正镜头畸变（Lens Distortion）：
   - 去除径向畸变
   - 使图像更准确

4. 平移（Translation）：
   - 使极线对齐到基线
   - 完成校正

结果：
- 极线变为水平线
- 对应点在同一行
- 搜索简化

五、基础矩阵与本质矩阵（Fundamental & Essential Matrix）：描述两视图的几何关系

这一章要建立的基础：理解如何用矩阵描述两个视图之间的几何关系

核心问题：如何用数学方式描述两个视图之间的几何关系？如何估计这些关系？

[!NOTE]
📝 关键点总结：基础矩阵和本质矩阵是描述两个视图之间几何关系的核心工具。基础矩阵用于未标定相机，本质矩阵用于已标定相机。它们都编码了极线约束。

5.1 基础矩阵（Fundamental Matrix）：未标定情况下的几何关系

概念的本质：

基础矩阵是一个3×3的特殊矩阵，描述了两个视图之间的几何关系。它将左图像中的点映射到右图像中的极线。基础矩阵编码了极线约束：如果p1和p2是对应点，那么p2^T F p1 = 0。

图解说明：

💡 说明：基础矩阵F是一个3×3矩阵，秩为2（rank 2）。它将左图像中的点映射到右图像中的极线：l2 = F p1。极线约束可以表示为：p2^T F p1 = 0，其中p1和p2是对应点。

类比理解：

想象基础矩阵是一个"翻译器"，它知道左图像中的点对应右图像中的哪条线。就像地图上的经纬线，基础矩阵告诉我们对应点在哪条"线"上。

实际例子：

基础矩阵的性质：
- 3×3矩阵，秩为2
- 有7个自由度（不是9个）
- 将点映射到极线：l2 = F p1
- 编码极线约束：p2^T F p1 = 0

基础矩阵的组成：
- F = K2^(-T) E K1^(-1)
- 其中K1、K2是相机内参矩阵
- E是本质矩阵

应用：
- 未标定相机的立体视觉
- 从对应点估计几何关系
- 极线约束的数学表达

5.2 本质矩阵（Essential Matrix）：已标定情况下的几何关系

概念的本质：

本质矩阵是基础矩阵在已标定相机情况下的简化形式。它只依赖于两个相机之间的相对旋转和平移，不依赖于相机的内参。本质矩阵描述了归一化图像坐标之间的关系。

图解说明：

💡 说明：本质矩阵E = [t]× R，其中[t]×是平移向量t的反对称矩阵，R是旋转矩阵。本质矩阵只依赖于两个相机之间的相对旋转和平移，不依赖于相机的内参。它描述了归一化图像坐标之间的关系。

类比理解：

想象本质矩阵是"纯粹的"几何关系，不受相机内部参数的影响。就像描述两个观察者之间的相对位置，而不考虑他们用什么"眼睛"看。

实际例子：

本质矩阵的性质：
- 3×3矩阵，秩为2
- 只依赖旋转R和平移T
- E = [t]× R
- 描述归一化坐标之间的关系

本质矩阵与基础矩阵的关系：
- F = K2^(-T) E K1^(-1)
- 如果相机已标定，可以用本质矩阵
- 如果未标定，需要用基础矩阵

应用：
- 已标定相机的立体视觉
- 从对应点估计相机运动
- 结构恢复（Structure from Motion）

5.3 8点算法（8-point Algorithm）：估计基础矩阵

概念的本质：

8点算法是用8对对应点估计基础矩阵的线性方法。每对对应点给出一个线性方程，8对点可以求解基础矩阵。虽然基础矩阵有7个自由度，但8点算法更稳定。

图解说明：

💡 说明：8点算法利用极线约束 $p2^T F p1 = 0$ ，每对对应点给出一个线性方程。8对点可以建立8个方程，求解基础矩阵的9个元素（然后强制秩为2）。虽然基础矩阵有7个自由度，但8点算法更稳定。

类比理解：

想象你要确定一条直线的方程，需要两个点。8点算法就像用8个点来确定一个"关系"（基础矩阵），虽然理论上7个点就够了，但8个点更稳定。

实际例子：

8点算法的步骤：
1. 收集8对对应点
2. 建立线性方程组：每对点给出一个方程
3. 求解基础矩阵F（最小特征值对应的特征向量）
4. 强制秩为2：使用SVD分解，将最小奇异值设为0

8点算法的优点：
- 线性方法，计算简单
- 易于实现
- 速度快

8点算法的缺点：
- 对噪声敏感
- 需要归一化提高稳定性

改进：
- 归一化8点算法：先归一化坐标，提高稳定性
- RANSAC：处理外点（错误匹配）

5.4 归一化8点算法（Normalized 8-point Algorithm）：(统一坐标尺寸)提高稳定性

概念的本质：

归一化8点算法是对8点算法的改进。它先对图像坐标进行归一化（平移和缩放），然后再应用8点算法，最后将结果变换回去。这样可以大大提高算法的稳定性和精度。

图解说明：

💡 说明：归一化8点算法先对图像坐标进行归一化：平移使质心在原点，缩放使平均距离为√2。然后应用8点算法，最后将结果变换回去。归一化可以消除坐标尺度的影响，提高算法的稳定性。

类比理解：

想象你在测量距离，但单位不一致（有些用米，有些用厘米）。归一化就像统一单位，使测量更准确。归一化8点算法就是这样，先统一坐标尺度，再计算。

实际例子：

归一化的目的：
- 消除坐标尺度的影响
- 提高数值稳定性
- 减少计算误差

归一化的步骤：
1. 平移：使质心在原点
2. 缩放：使平均距离为√2
3. 应用8点算法
4. 反归一化：将结果变换回去

归一化8点算法的优势：
- 比标准8点算法更稳定
- 精度更高
- 实际应用中常用

应用：
- 几乎所有基础矩阵估计都使用归一化
- 是标准8点算法的改进版本